Beziehung Exp und Sin/Cos < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mo 04.08.2014 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
bekanntermaßen gilt ja gerade:
[mm] $\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} \,=\, \cos [/mm] x + [mm] \mathrm{i}\cdot \sin [/mm] x.$
Ist jemandem eine ähnliche Beziehung zur Exponentialfunktion bekannt, wenn wir nun eine beliebige Linearkombination:
$a [mm] \cos(x) [/mm] + [mm] \mathrm{i}\cdot [/mm] ( b \ sin(x))$
für $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] betrachten?
Sicherlich rechnet man schnell nach, dass:
$a [mm] \cos(x) [/mm] + [mm] \mathrm{i}\cdot [/mm] ( b \ sin(x)) = [mm] \frac{a+b}{2} e^{\mathrm{i}x} [/mm] + [mm] \frac{a-b}{2}e^{-\mathrm{i}x}.$ [/mm]
Lässt sich das vielleicht noch "schöner" darstellen?
Wäre für jeden Tipp sehr dankbar.
Viele Grüße, Dester
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Mo 04.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
> bekanntermaßen gilt ja gerade:
> [mm]\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} \,=\, \cos x + \mathrm{i}\cdot \sin x.[/mm]
>
> Ist jemandem eine ähnliche Beziehung zur
> Exponentialfunktion bekannt, wenn wir nun eine beliebige
> Linearkombination:
> [mm]a \cos(x) + \mathrm{i}\cdot ( b \ sin(x))[/mm]
> für [mm]a,b \in \IR[/mm]
> betrachten?
> Sicherlich rechnet man schnell nach, dass:
> [mm]a \cos(x) + \mathrm{i}\cdot ( b \ sin(x)) = \frac{a+b}{2} e^{\mathrm{i}x} + \frac{a-b}{2}e^{-\mathrm{i}x}.[/mm]
> Lässt sich das vielleicht noch "schöner" darstellen?
> Wäre für jeden Tipp sehr dankbar.
> Viele Grüße, Dester
was willst Du denn daran noch verschönern? Das ist doch schon
wunderbar, man kann es auch herleiten (beachte etwa [mm] $\cos(x)=$
[/mm]
[mm] $\text{Re}(e^{ix})=\frac{e^{ix}+\overline{e^{ix}}}{2}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$):
[/mm]
$a [mm] \cos(x)+i*(b \sin(x))=a*\frac{e^{ix}+\overline{e^{ix}}}{2}+i*b*\frac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i}=\frac{a+b}{2}e^{ix}+\frac{a-b}{2}\overline{e^{ix}}=\frac{a+b}{2}e^{ix}+\frac{a-b}{2}e^{-ix}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mo 04.08.2014 | | Autor: | DesterX |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Ich dachte es gäbe vielleicht noch einen Satz auch der Funktionentheorie (oä), sodass ich es vielleicht in der Form [mm] $exp(\cdot)$ [/mm] darstellen kann.
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Hallo!
Wenn du es unbedingt in die einfache Exponentialdarstellung pressen möchtest, geht das natürlich auch:
[mm] |Z|=\sqrt{a^2\sin^2(x)+b^2\cos^2(x)}
[/mm]
[mm] \arg(Z)=\frac{\Im(Z)}{\Re(Z)}=\frac{b\cos(x)}{a\sin(x)}
[/mm]
[mm] Z=|Z|*e^{i\arg(Z)}=\sqrt{a^2\sin^2(x)+b^2\cos^2(x)}*\exp\left( i*\frac{b\cos(x)}{a\sin(x)}\right)
[/mm]
(Ich gehe dabei mal davon aus, daß [mm] x\in\IR [/mm] )
Den Bruch kannst du via tan() noch ein wenig kürzer schreiben, aber das wars dann auch. Aber wirklich schön ist DAS nicht, es sei denn, du brauchst das zwingend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Di 05.08.2014 | | Autor: | DesterX |
Danke! Ich schau mal, was mir mehr hilft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Di 05.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke! Ich schau mal, was mir mehr hilft.
das kannst Du zwar machen, aber die angegebene Formel war fehlerhaft
(siehe meine Mitteilung). Um [mm] $\arg(Z)$ [/mm] zu bestimmen, musst Du
[mm] $\tan(\arg(Z))=\frac{\text{Im}(Z)}{\text{Re}(Z)}$
[/mm]
lösen (sofern wir nicht durch 0 teilen!), und dann solltest Du Dir anhand
der Vorzeichen von [mm] $\text{Im}(Z)$ [/mm] und [mm] $\text{Re}(Z)$ [/mm] klarmachen, ob Du mit
dem durch den [mm] $\arctan$ [/mm] berechneten Winkel arbeiten kannst, oder ob Du den
um [mm] $\pi$ [/mm] "verschobenen" Winkel nehmen solltest [mm] ($\tan(x) \equiv \tan(x+k*\pi)$ [/mm] für festes $k [mm] \in \IZ$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Di 05.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> Wenn du es unbedingt in die einfache Exponentialdarstellung
> pressen möchtest, geht das natürlich auch:
>
> [mm]|Z|=\sqrt{a^2\sin^2(x)+b^2\cos^2(x)}[/mm]
>
> [mm]\arg(Z)=\frac{\Im(Z)}{\Re(Z)}=\frac{b\cos(x)}{a\sin(x)}[/mm]
wie kommst Du denn darauf? Es ist
[mm] $\tan(\arg(Z))=\frac{b\cos(x)}{a\sin(x)}\,.$
[/mm]
> [mm]Z=|Z|*e^{i\arg(Z)}=\sqrt{a^2\sin^2(x)+b^2\cos^2(x)}*\exp\left( i*\red{\frac{b\cos(x)}{a\sin(x)}}\right)[/mm]
Siehe oben - das rotmarkierte stimmt nicht. Du müßtest die [mm] $\tan$-Gleichung [/mm] nach
[mm] $\arg(Z)$ [/mm] auflösen und dann auch noch durch Vorzeichenbetrachtungen
gucken, ob Du nicht den um [mm] $\pi$ [/mm] verschobenen Winkel nehmen musst.
Und die Fälle $x [mm] \in \pi/2+\pi*\IZ$ [/mm] wären noch gesondert zu behandeln...
Gruß,
Marcel
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Hi!
Da hast du natürlich recht, der Tangens ist mir irgendwie entfallen.
naja, das macht die Sache dann ja nicht besser: [mm] \phi=\arctan(\frac{b}{a}\cot(x)) [/mm] Brrrrrrr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Di 05.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hi!
>
> Da hast du natürlich recht, der Tangens ist mir irgendwie
> entfallen.
>
> naja, das macht die Sache dann ja nicht besser:
> [mm]\phi=\arctan(\frac{b}{a}\cot(x))[/mm] Brrrrrrr.
richtig: Brrrrrrrr 
Ich hatte eben auch 'n blöden Rechenfehler bei 'ner Funktion, wo trigonometrische
Terme drin waren (man sollte halt auch Verkettungen als solche ansehen, aber
das hat jetzt nichts mit dem hier zu tun).
Gruß,
Marcel
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