Beziehung im 7-Eck < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | man zeige, dass im regelmäßigen siebeneck [mm] a^2+d_1^2+d_2^2=7 [/mm] gilt, wobei a die seitenlänge und [mm] d_1 [/mm] bzw. [mm] d_2 [/mm] die längen der diagonalen sind. |
für die längen der diagonalen gibt es eine formel (siehe z.B. http://www.mathematische-basteleien.de/vieleck.htm).
einsetzen führt auf:
[mm] d_1=a\bruch{Sin{\bruch{2\pi}{7}}}{Sin{\bruch{\pi}{7}}}
[/mm]
[mm] d_2=a\bruch{Sin{\bruch{3\pi}{7}}}{Sin{\bruch{\pi}{7}}}
[/mm]
damit geht sich die beziehung, die zu zeigen ist, aber nicht aus (ganz zu schweigen, dass ich nicht wüsste wie ich weiter umformen soll). mathematica liefert 9.29 [mm] s^2 [/mm] anstatt 7. wo ist der fehler?
grüße
|
|
| |
|
hallo chimneytop
> man zeige, dass im regelmäßigen siebeneck [mm]a^2+d_1^2+d_2^2=7[/mm]
> gilt, wobei a die seitenlänge und [mm]d_1[/mm] bzw. [mm]d_2[/mm] die längen
> der diagonalen sind.
> für die längen der diagonalen gibt es eine formel (siehe
> z.B. http://www.mathematische-basteleien.de/vieleck.htm).
>
> einsetzen führt auf:
>
> [mm]d_1=a\bruch{Sin{\bruch{2\pi}{7}}}{Sin{\bruch{\pi}{7}}}[/mm]
> [mm]d_2=a\bruch{Sin{\bruch{3\pi}{7}}}{Sin{\bruch{\pi}{7}}}[/mm]
>
> damit geht sich die beziehung, die zu zeigen ist, aber
> nicht aus (ganz zu schweigen, dass ich nicht wüsste wie ich
> weiter umformen soll). mathematica liefert 9.29 [mm]s^2[/mm] ( eigentlich 9.29 [mm]a^2[/mm])
> anstatt 7. wo ist der fehler?
Ich hab's nachgerechnet. Deine Rechnung ist absolut in Ordnung, aber es fehlt wohl in der Aufgabenstellung ein wichtiges Detail, nämlich dass angenommen wurde, der Umkreisradius des Siebenecks sei [mm]r=1[/mm]. Eigentlich sollte die Gleichung so lauten:
[mm]a^2+d_1^2+d_2^2=7* r^2[/mm]
Gemerkt habe ich dies, indem ich zunächst deine Formeln verifizierte (wie geht dies übrigens?...) und nach einigem herumprobieren mit dem Taschenrechner.
Gruß al-Chwarizmi
Kleiner Nachtrag: das obige habe ich numerisch gefunden. Sollte ein exakter Beweis der Formel gefordert werden, dann kann das ja noch gemütlich werden bei der Umformung der trigonometrischen Formeln...
Mit meinem CAS-Rechner habe ich es jedenfalls noch nicht geschafft, die Gleichung exakt zu bestätigen.
Mit Mathematica sollte es aber wohl gehen.
|
|
|
| |
|
Ok, du hast recht. Ich hab jetzt sowohl Aufgabe als auch meine Internetquelle nochmal etwas genauer angeschaut.
Es geht ja eigentlich viel einfacher:
[mm] d_i=2R*sin(\frac{180° * i}{n})
[/mm]
R ist der Umkreisradius (in unserem Fall 1).
Für n=7 gibt es 3 verschiedene Werte. i=1 liefert die Seitenlänge, i=2 die kurze Diagonale und i=3 die lange.
Dann ergibt [mm] d_1^2+d_2^2+d_3^2 [/mm] auch tatsächlich 7, allerdings nur numerisch ausgewertet. Wie ich die Sinusterme sinnvoll zusammenfassen oder umformen soll weiß ich noch nicht.
|
|
|
| |
|
Ich habs jetzt etwas umgeformt. Es bliebe noch zu zeigen:
[mm] Cos[2\alpha]+Cos[4\alpha]+Cos[6\alpha]=-\bruch{1}{2} [/mm] für [mm] \alpha=\bruch{\pi}{7}.
[/mm]
Das geht sogar im Mathematica nur numerisch...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mo 21.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Ich habs jetzt etwas umgeformt. Es bliebe noch zu zeigen:
> [mm]Cos[2\alpha]+Cos[4\alpha]+Cos[6\alpha]=-\bruch{1}{2}[/mm] für
> [mm]\alpha=\bruch{\pi}{7}.[/mm]
Das müsste doch über die Doppelwinkelformel [mm] Cos(2\phi)=cos^2\phi-sin^2\phi=1-2sin^2\phi [/mm] machbar sein.
Wenn die Gleichung stimmt, wird daraus
[mm] Cos\bruch{2\pi}{7}+Cos\bruch{4\pi}{7}+Cos\bruch{6\pi}{7}=-\bruch{1}{2}[/mm] [/mm] ,
wobei gilt [mm] Cos\bruch{6\pi}{7}=-Cos\bruch{\pi}{7}.
[/mm]
Viele Grüße
Abakus
>
> Das geht sogar im Mathematica nur numerisch...
|
|
|
| |
|
Hallo abakus und chimneytop,
ich möchte euch nur noch verraten, weshalb ich da mögliche Schwierigkeiten vermute. Da das Siebeneck nicht ZL-konstruierbar ist, kann man solche Werte wie [mm]cos{\bruch{2\pi}{7}}[/mm] etc. auf keinerlei Weise mit Wurzelausdrücken darstellen.
(.............)
Nachtrag:
sorry, das obige ist so doch nicht ganz korrekt, es ist natürlich [mm]cos(\bruch{2\pi}{7}) = Re(z)[/mm]
für eine der komplexen Lösungen der Gleichung [mm] z^7 [/mm] = 1 oder meinetwegen [mm] z= \wurzel[7]{1}[/mm]
Ich habe mir dann die Gleichung so wie sie abakus umgeformt hat, nochmals angeschaut.
Man kann sie auch so schreiben:
[mm]cos(\beta) + cos(2\beta) + cos(3\beta) = -\bruch{1}{2}[/mm] , wenn [mm]\beta = \bruch{2\pi}{7}[/mm]
Und um zu zeigen, dass diese Gleichung zutreffen muss, muss man gar nicht rechnen! Man kann es SEHEN! (---> in der komplexen Ebene skizzieren !)
Wir betrachten die 7.Einheitswurzeln
[mm]z_k = cos(k*\bruch{2\pi}{7})+i*sin(k*\bruch{2\pi}{7})[/mm] für k [mm] \in [/mm] {0,1,...6}
Die linke Seite der obigen Gleichung entspricht natürlich der Summe
[mm] Re(z_1) + Re(z_2) + Re(z_3)[/mm] .
Sie ist gleich gross wie
[mm]Re(z_6) + Re(z_5) + Re(z_4)[/mm] ,
da [mm] z_6 [/mm] zu [mm] z_1\ [/mm] , [mm] z_5 [/mm] zu [mm] z_2 [/mm] und [mm] z_4 [/mm] zu [mm] z_3 [/mm] konjugiert sind.
Schliesslich ist [mm] Re(z_0) [/mm] + [mm] Re(z_1) [/mm] + ....... [mm] Re(z_5) [/mm] + [mm] Re(z_6) [/mm] = 0, weil auch [mm] z_0 [/mm] + [mm] z_1+.....z_5 [/mm] + [mm] z_6 [/mm] = 0
Wegen [mm] z_0 [/mm] = 1 folgt nun leicht, dass
[mm] Re(z_1) + Re(z_2) + Re(z_3) = -\bruch{1}{2}[/mm]
q.e.d.
Und noch ein Nachtrag: Wenn man das ganze noch ein wenig weiter verfolgt, so stellt sich heraus, dass die Zahlenwerte [mm] x_1 = Re(z_1) , \ x_2 = Re(z_2) ,\ x_3 = Re(z_3)[/mm]
sogar die 3 reellen Lösungen einer ganzzahligen kubischen Gleichung sind:
[mm] 8 x^3 + 4 x^2 - 4 x -1 = 0[/mm]
Dies bedeutet natürlich, dass sich [mm]cos(\bruch{2\pi}{7}),cos(\bruch{4\pi}{7}), cos(\bruch{6\pi}{7}) [/mm] sehr wohl mittels Wurzelausdrücken (Quadrat- und Kubikwurzeln) darstellen lassen.
LG al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Mo 21.04.2008 | | Autor: | chimneytop |
Sehr schön!
Danke vielmals.
|
|
|
| |
|
> Sehr schön!
>
> Danke vielmals.
Das sehe ich auch so. Mathe kann eben wirklich sehr schön sein und grosses Vergnügen bereiten.
|
|
|
| |
|
> Ok, du hast recht. Ich hab jetzt sowohl Aufgabe als auch
> meine Internetquelle nochmal etwas genauer angeschaut.
>
> Es geht ja eigentlich viel einfacher:
> [mm]d_i=2R*sin(\frac{180° * i}{n})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ja, das wird einfacher !
>
> R ist der Umkreisradius (in unserem Fall 1).
darfst du so annehmen und einsetzen
> Für n=7 gibt es 3 verschiedene Werte. i=1 liefert die
> Seitenlänge, i=2 die kurze Diagonale und i=3 die lange.
>
> Dann ergibt [mm]d_1^2+d_2^2+d_3^2[/mm] auch tatsächlich 7,
> allerdings nur numerisch ausgewertet. Wie ich die
> Sinusterme sinnvoll zusammenfassen oder umformen soll weiß
> ich noch nicht.
Zu zeigen wäre also, dass
[mm]sin^2(\bruch{\pi}{7}) +sin^2(\bruch{2*\pi}{7}) +sin^2 (\bruch{3*\pi}{7}) = 7/4[/mm]
Man setzt natürlich [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{7} [/mm] und rechnet zuerst nur mit den Formeln in [mm] \alpha.
[/mm]
Dies kann aber schon etwas mühselig werden. Ich vermute, dass man dann irgendwann auch die Formel für [mm]cos(7*\alpha)[/mm] , ausgedrückt durch [mm]cos(\alpha)[/mm] , verwenden muss, weil man dann die Gleichung
[mm]cos(7*\alpha) =cos(\pi) = - 1 [/mm]
aufstellen könnte...
Viel Spass!
al-Chwarizmi
noch eine leise Warnung:
bevor du mehr als ein paar Stunden in die trigonometrische Umformung investierst, prüfst du vielleicht noch, ob tatsächlich ein exaktes Ergebnis verlangt war...
|
|
|
|
