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| Aufgabe | Für natürliche Zahlen n bezeichne d(n) die Anzahl der natürlichen Teiler
von n, z.B. ist d(1) = 1, d(4) = 3, d(10) = 4.
Zeigen Sie:
[mm] (\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}})^{2} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{d(n)}{n^{2}} [/mm] |
Hallo =)
ich muss diese Aufgabe in ein paar Tagen abgeben und weiß nicht, wie ich sie lösen soll. Würde mich sehr über einen Lösungsansatz freuen :)
Liebe Grüße ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Multipliziere die beiden Reihen links (Distributivgesetz). Du erhältst
[mm]\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \right)^2 = \sum_{m,n=1}^{\infty} \frac{1}{(mn)^2}[/mm]
Die Produkte [mm]mn[/mm] erzeugen nun natürliche Zahlen [mm]k=mn[/mm]. Jetzt überlege, wie oft der Summand [mm]\frac{1}{k^2}[/mm] in der Summe auftritt.
Das geht genau so wie hier.
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