Beziehungen zwischen Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Mo 07.04.2008 | | Autor: | puky |
| Aufgabe | Welche Beziehungen gelten zwischen folgenden Mengen?
[mm] A\Delta(B \cap [/mm] C) und [mm] (A\Delta B)\cap (A\Delta [/mm] C) |
Hi,
Also ich würde sagen [mm] (A\Delta B)\cap(A\Delta [/mm] C) ist eine Teilmenge von [mm] A\Delta(B\cap [/mm] C). Bin mir da aber nich sicher.
Kann mir jemand sagen ob das stimmt? Und vielleicht wie man das sieht?
fg puky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Mo 07.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Ich nehme an mit [mm] $A\Delta [/mm] B$ meinst du die Symmetrische Differenz von Mengen.
Dann sind die beiden doch gleich oder? Mal doch einfach ein Mengendiagramm um es dir klarzumachen.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 02:02 Di 08.04.2008 | | Autor: | Marcel |
> Ich nehme an mit [mm]A\Delta B[/mm] meinst du die Symmetrische
> Differenz von Mengen.
> Dann sind die beiden doch gleich oder?
Nein, i.a. nicht. Ich habe dazu unten ein Beispiel angefügt. Es gilt in der Tat sicherlich nur seine behauptete Teilmengeneigenschaft, d.h. diese läßt sich nicht zu einer Gleichheit verschärfen.
> Mal doch einfach
> ein Mengendiagramm um es dir klarzumachen.
Daran erkennt man es auch, wenn man zuläßt, dass sich alle Mengen überschneiden (d.h. $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not=\emptyset$, [/mm] $A [mm] \cap [/mm] C [mm] \not=\emptyset$ [/mm] und $B [mm] \cap [/mm] C [mm] \not=\emptyset$ [/mm] gilt).
Am besten zweimal das Diagramm zeichnen, dann einmal mit einer Farbe $A [mm] \Delta [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$ kennzeichnen (meinetwegen in Rot), und bei dem anderen Diagramm dann $A [mm] \Delta [/mm] B$ (meinetwegen in Gelb) und $A [mm] \Delta [/mm] C$ kennzeichnen (meinetwegen in Blau) und die Schnittmenge dieser beiden Mengen (also wo die blaue und gelbe Farbe übereinanderlaufen, also wo Grün zu sehen ist) mit der obigen roten Menge vergleichen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
Nimm einfach die Definition [mm] A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap [/mm] B) und friemel damit alles auseinander.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Di 08.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Edit: Vorneweg: Meine Antwort ist etwas allgemeinerer Natur, aber Du hast in der Tat Recht, dass i.a. nur die von Dir behauptete Teilmengenbeziehung gilt.
> Welche Beziehungen gelten zwischen folgenden Mengen?
>
> [mm]A\Delta(B \cap[/mm] C) und [mm](A\Delta B)\cap (A\Delta[/mm] C)
> Hi,
>
> Also ich würde sagen [mm](A\Delta B)\cap(A\Delta[/mm] C) ist eine
> Teilmenge von [mm]A\Delta(B\cap[/mm] C). Bin mir da aber nich
> sicher.
> Kann mir jemand sagen ob das stimmt? Und vielleicht wie
> man das sieht?
es gibt ja 3 mögliche Fälle:
1.) [mm] $A\Delta(B \cap [/mm] C) [mm] \blue{\subset} ((A\Delta B)\cap (A\Delta [/mm] C))$
2.) [mm] $((A\Delta B)\cap (A\Delta [/mm] C)) [mm] \blue{\subset} A\Delta(B \cap [/mm] C)$
bzw.
3.) [mm] $A\Delta(B \cap [/mm] C) [mm] \blue{=} (A\Delta B)\cap (A\Delta [/mm] C)$
Da der 3e Fall sich durch überprüfen der ersten beiden Fälle ergibt (es gilt $X=Y$ genau dann, wenn $X [mm] \subset [/mm] Y$ [mm] $\mbox{\underline{und}}$ [/mm] $Y [mm] \subset [/mm] X$), brauchst Du nur die ersten beiden Fälle zu untersuchen.
Wie zeigt man $X [mm] \subset [/mm] Y$? Man fängt an: Sei $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig, aber fest, und dann kommt eine Folgerungskette, an deren Ende $x [mm] \in [/mm] Y$ steht. Da dies dann für alle $x [mm] \in [/mm] X$ gilt, folgt $X [mm] \subset [/mm] Y$ (Anmerkung: Wenn man jeden Pfeil [mm] $\Rightarrow$ [/mm] dabei durch [mm] $\gdw$ [/mm] ersetzen kann, hat man gleichzeitig dann auch $Y [mm] \subset [/mm] X$ und damit $X=Y$ gezeigt).
Es könnte natürlich auch sein, dass man mit gewissen "Rechenregeln für Mengen" hier sowieso auch die Gleichheit der Mengen einsehen könnte. So würde z.B. wegen $A [mm] \setminus [/mm] B=A [mm] \cap B^c$ [/mm] gelten (nach de Morgan) (wobei wir sagen: $x [mm] \in B^c \gdw [/mm] x [mm] \notin [/mm] B$):
$A [mm] \Delta [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)=(A [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)) [mm] \cup [/mm] ((B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \setminus [/mm] A)=(A [mm] \cap (B^c \cup C^c)) \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C [mm] \cap A^c)=...$
[/mm]
Jetzt gelten noch Regeln wie $X [mm] \cup [/mm] (Y [mm] \cap [/mm] Z)=(X [mm] \cup [/mm] Y) [mm] \cap [/mm] (X [mm] \cup [/mm] Z)$ und $X [mm] \cap [/mm] (Y [mm] \cup [/mm] Z)=(X [mm] \cap [/mm] Y) [mm] \cup [/mm] (X [mm] \cap [/mm] Z)$. Vielleicht führt eine Anwendung davon unter Beachtung, was [mm] $((A\Delta B)\cap (A\Delta [/mm] C))$ per Definition von [mm] $\Delta$ [/mm] ist, mittels eines Vergleichs am Ende dann zum Ziel...
Da muss man ein wenig rumprobieren, und man wird hier (vgl. Bsp. unten) sicherlich nicht die Mengengleichheit herausbekommen, sondern an irgendeiner Stelle "steckenbleiben" (die aber manchmal nützlich sein kann, um zu erkennen, welche Teilmengenbeziehung gilt und welche nicht).
Wenn man aber noch unsicher "mit dem Rechnen mit Mengen" ist, dann würde ich Dir empfehlen, die Aufgabe halt wie oben angedeutet anzugehen:
Gilt 1.)?
Sei dazu $x [mm] \in A\Delta(B \cap [/mm] C)$ beliebig, aber fest. Dann folgt
(im Zeichen [mm] $\Rightarrow$) [/mm]
[($x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \notin [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)$) oder ($x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)$ und $x [mm] \notin [/mm] A$)]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] [(($x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$ und $x [mm] \notin [/mm] C$) oder ($x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] C$ und $x [mm] \notin [/mm] B$)) oder ($x [mm] \in [/mm] B$ und $x [mm] \in [/mm] C$ und $x [mm] \notin [/mm] A$)]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] ...
.
.
.
Ziel ist (bzw. besser: wäre) es, zu zeigen, dass dann $x [mm] \in ((A\Delta B)\cap (A\Delta [/mm] C))$ gilt ( leider erkennt man an dem Beispiel unten, dass das i.a. nicht gilt).
Wenn Du das getan hast, weißt Du:
[mm] $A\Delta(B \cap [/mm] C) [mm] \blue{\subset} ((A\Delta B)\cap (A\Delta [/mm] C))$, (bzw. hier wegen z.B. dem Beispiel unten, dass diese Teilmengenbeziehung eben i.a. nicht gilt).
Dann prüfst Du halt noch 2.), also ob
[mm] $A\Delta(B \cap [/mm] C) [mm] \blue{\supset} ((A\Delta B)\cap (A\Delta [/mm] C))$
gilt (und da kann man sich halt überlegen, ob man jeden Pfeil [mm] $\Rightarrow$ [/mm] in der obigen Folgerungskette (wenn sie denn gelten würde) auch umdrehen dürfte, also auch die Folgerungen in der Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] gelten würden). Und wenn das beides gelten würde (also [mm] $\subset$ [/mm] und [mm] $\supset$), [/mm] dann hätte man die Gleichheit der Mengen (die hier aber leider i.a. nicht vorhanden sein wird).
P.S.:
Anmerkung:
Du wirst sicherlich nur 2.) beweisen können, also in der Tat Deine Behauptung. Denn:
Sei [mm] $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5\}$ [/mm] und [mm] $C=\{4,5,6\}$. [/mm] Dann gilt:
$A [mm] \Delta [/mm] (B [mm] \cap C)=\{1,2,3,4\} \Delta \{4,5\}=\{1,2,3\} \cup \{5\}=\{1,2,3,5\}$, [/mm] aber
$A [mm] \Delta B=\{1,2,5\}$ [/mm] und $A [mm] \Delta C=\{1,2,3,5,6\}$ [/mm] und damit
$(A [mm] \Delta [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \Delta C)=\{1,2,5\} \subsetneq\{1,2,\blue{3},5\}$
[/mm]
Das Beispiel zeigt, dass i.a. 1.) falsch ist, dass es also Mengen $A,B,C$ gibt, die 1.), also
[mm] $A\Delta(B \cap [/mm] C) [mm] \blue{\subset} ((A\Delta B)\cap (A\Delta [/mm] C))$
nicht erfüllen!
Gruß,
Marcel
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