Bijektion einer Gruppe < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Mo 06.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Es sei (G, [mm] \circ) [/mm] eine Gruppe. Für ein festes a [mm] \in [/mm] G definiere man eine Abbildung
[mm] f_{a}: \{G \to G, g \mapsto a \circ g}
[/mm]
Man zeige, dass alle diese Abbildungen f(a) bijektiv sind und
[mm] H:=\{f_{a}| a \in G\}
[/mm]
eine Untergruppe von Bij(G) ist.
Wann sind zwei solche Abbildungen [mm] f_{a}, f_{b} [/mm] gleich (a,b [mm] \in [/mm] G)? |
Hallo zusammen!
Ich habe hier diese Aufgabe vor mir liegen und weiß nicht genau, wie ich nun anfangen soll. Um zu beweisen, dass [mm] f_{a} [/mm] bijektiv ist, muss man ja erst beweisen, dass es injektiv und surjektiv ist oder?
Wie stelle ich dies genau an?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Mo 06.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Es sei (G, [mm]\circ)[/mm] eine Gruppe. Für ein festes a [mm]\in[/mm] G
> definiere man eine Abbildung
> [mm]f_{a}: \{G \to G, g \mapsto a \circ g}[/mm]
>
> Man zeige, dass alle diese Abbildungen f(a) bijektiv sind
> und
> [mm]H:=\{f_{a}| a \in G\}[/mm]
> eine Untergruppe von Bij(G) ist.
>
> Wann sind zwei solche Abbildungen [mm]f_{a}, f_{b}[/mm] gleich (a,b
> [mm]\in[/mm] G)?
> Hallo zusammen!
> Ich habe hier diese Aufgabe vor mir liegen und weiß nicht
> genau, wie ich nun anfangen soll. Um zu beweisen, dass
> [mm]f_{a}[/mm] bijektiv ist, muss man ja erst beweisen, dass es
> injektiv und surjektiv ist oder?
hier fährt man unter umständen besser, wenn man direkt die umkehrabbildung angibt, dann muss man deutlich weniger rechnen. aber du kannst natürlich auch injektivität und surjektivität nachweisen.
zur injektivität: sei $a [mm] \in [/mm] G$ fest und sei [mm] $f_a(g) [/mm] = [mm] f_a(h)$, [/mm] das heißt $a [mm] \circ [/mm] g = a [mm] \circ [/mm] h$. nun überlege dir, wie du daraus $g = h$ folgern kannst. es bietet sich an beide seiten der gleichung von links mit einem element zu multiplizieren. mit welchem?
zur surjektivität. gibt hier zu $h [mm] \in [/mm] G$ ein $g [mm] \in [/mm] G$ mit [mm] $f_a(g) [/mm] = h$ an (schreib dir die letzte gleichgung aus, dann siehst du recht schnell, wie du das element wählen musst).
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mo 06.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Also zur Injektivität:
Hier habe ich mit dem Inversen Element multipliziert und habe dann
[mm] a^{-1} [/mm] * a [mm] \circ [/mm] g = [mm] a^{-1} [/mm] *a [mm] \circ [/mm] h
e [mm] \circ [/mm] g = e [mm] \circ [/mm] h
g = h
Surjektivität:
[mm] f_{a}(g) [/mm] = h
a [mm] \circ [/mm] g = h
[mm] a^{-1} [/mm] * a [mm] \circ [/mm] g = h
e [mm] \circ [/mm] g = h
g = h
Ooooder irre ich mich total?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mo 06.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Also zur Injektivität:
> [mm]a^{-1}[/mm] * a [mm]\circ[/mm] g = [mm]a^{-1}[/mm] *a [mm]\circ[/mm] h
> e [mm]\circ[/mm] g = e [mm]\circ[/mm] h
> g = h
Richtig.
> Surjektivität:
> [mm]f_{a}(g)[/mm] = h
> a [mm]\circ[/mm] g = h
> [mm]a^{-1}[/mm] * a [mm]\circ[/mm] g = h
> e [mm]\circ[/mm] g = h
> g = h
Nee das is nicht richtig. Erstens hast du vergessen in dem einen Schritt auch auf der rechten Seite von links mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] zu multiplizieren und zweitens geht es bei der Surjektivität ja darum zu zeigen, dass es für jedes [mm] $h\in [/mm] G$ ein [mm] $g\in [/mm] G$ gibt, sodass [mm] $f_a(g)=h$ [/mm] ist. Also muss dein Surjektivitätsbeweis so gehen:
"Sei [mm] $h\in [/mm] G$ beliebig vorgegeben. (...) Dann ist [mm] $f_a(...)=h$."
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 06.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
also ich bekomm den Beweis für die Surjektivität einfach nicht hin ... kann nochmal jemand aushelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Mo 06.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> also ich bekomm den Beweis für die Surjektivität einfach
> nicht hin ... kann nochmal jemand aushelfen?
Also. Es ist [mm] $h\in [/mm] G$ beliebig vorgegeben. Wir brauchen ein [mm] $x\in [/mm] G$, sodass [mm] $f_a(x)=h$ [/mm] ist, d.h. [mm] $a\circ [/mm] x=h$. Diese Letzte Gleichung musst du nur "nach $x$ auflösen", dann hast du's.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mo 06.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
also ich glaube Kopfschmerzen, Müdigkeit und Mathe vertragen sich einfach nicht ...
um es nach x aufzulösen muss ich doch
[mm] a\circ [/mm] x=h
[mm] a^{-1}*a\circ x=a^{-1}*h
[/mm]
[mm] e*x=a^{-1}*h
[/mm]
[mm] x=a^{-1}*h
[/mm]
nur bringt mich dies grad nicht wirklich weiter? oder hab ich mit dem invertierten Element ebenfalls die Surjektivität bewiesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mo 06.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm]a\circ[/mm] x=h
> [mm]a^{-1}*a\circ x=a^{-1}*h[/mm]
> [mm]e*x=a^{-1}*h[/mm]
> [mm]x=a^{-1}*h[/mm]
Genau.
> nur bringt mich dies grad nicht wirklich weiter? oder hab
> ich mit dem invertierten Element ebenfalls die
> Surjektivität bewiesen?
Ja, denn jetzt hast du den Beweis:
Sei [mm] $h\in [/mm] G$ beliebig. Dann ist [mm] $f_a(a^{-1}h)=aa^{-1}h=h$. [/mm] Also ist [mm] $f_a$ [/mm] surjektiv.
Falls dir das nicht klar sein sollte schau dir nochmal genau die Definition der Surjektivität an.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mo 06.10.2008 | | Autor: | SaMoT |
Da ich eine ähnliche Aufgabe zu lösen habe wollte ich hier nochmal nachfragen. Und zwar, ist mir als absoluter Gruppenanfänger, relativ unklar, was von der Aufgabe wir damit gelöst haben. Ich bin davon ausgegangen, dass wir die Bijektivität von fa nur mithilfe der Def von fa beweisen sollen, ohne die Untergruppe H, weshalb mich das fa(h) verwirrt. Und wurde irgentwie nachgewiesen, dass H eine Untergruppe ist? Ich bitte um Verständnis für diese relativ dämliche Frage...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mo 06.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Da ich eine ähnliche Aufgabe zu lösen habe wollte ich hier
> nochmal nachfragen. Und zwar, ist mir als absoluter
> Gruppenanfänger, relativ unklar, was von der Aufgabe wir
> damit gelöst haben. Ich bin davon ausgegangen, dass wir die
> Bijektivität von fa nur mithilfe der Def von fa beweisen
> sollen, ohne die Untergruppe H
Richtig.
> weshalb mich das fa(h) verwirrt.
Das $h$ hat nichts mit der Menge $H$ zu tun. Die Variable $g$ war nur schon "verbraucht", also hab ich den nächsten Buchstaben genommen 
> Und wurde irgentwie nachgewiesen, dass H eine Untergruppe ist?
Bis jetzt noch nicht.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Di 07.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
noch ein paar hinweise zu den verbleibenden aufgabenteilen.
> Man zeige, dass alle diese Abbildungen f(a) bijektiv sind
> und
> [mm]H:=\{f_{a}| a \in G\}[/mm]
> eine Untergruppe von Bij(G) ist.
überlege dir, was [mm] $f_a \circ f_b(g)$ [/mm] ist. wie muss man $c [mm] \in [/mm] G$ wählen, damit man das als [mm] $f_c(g)$ [/mm] schreiben kann? wie folgt daraus, dass $H$ eine unterguppe ist?
> Wann sind zwei solche Abbildungen [mm]f_{a}, f_{b}[/mm] gleich (a,b
> [mm]\in[/mm] G)?
[mm] $f_a [/mm] = [mm] f_b \Longrightarrow f_a(1) [/mm] = [mm] f_b(1)$. [/mm] für welche $a, b [mm] \in [/mm] G$ gilt die letzte aussage?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Di 07.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
> [mm]H:=\{f_{a}| a \in G\}[/mm]
> eine Untergruppe von Bij(G) ist.
>
> Wann sind zwei solche Abbildungen [mm]f_{a}, f_{b}[/mm] gleich (a,b
> [mm]\in[/mm] G)?
Um zu zeigen, dass H eine Untergruppe ist, muss ich doch beweisen, dass diese Menge nicht leer ist, ein neutrales und inverses Element besitzt oder?
Also:
1.) 0 [mm] \in [/mm] H für [mm] f_{a}=0
[/mm]
2.) [mm] f_{a1} [/mm] + [mm] f_{a2} [/mm] = f (a1+a2) [mm] \in [/mm] H
3.) 0 ist ein neutrales Element in H, 0 [mm] \in [/mm] H
4.) [mm] f_{a1}+f_{a2}=0
[/mm]
[mm] f_{a1}=-f_{a2}
[/mm]
a1=-a2
Und bei der letzten Teilaufgab habe ich leider keine Idee.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> > [mm]H:=\{f_{a}| a \in G\}[/mm]
> > eine Untergruppe von Bij(G)
> ist.
> >
> > Wann sind zwei solche Abbildungen [mm]f_{a}, f_{b}[/mm] gleich (a,b
> > [mm]\in[/mm] G)?
>
> Um zu zeigen, dass H eine Untergruppe ist, muss ich doch
> beweisen, dass diese Menge nicht leer ist, ein neutrales
Richtig
> und inverses Element besitzt oder?
Das stimmt so nicht ganz. In einer Gruppe gibt es keine "inversen" und "nicht-inversen" Elemente, d.h. man kann sich nicht einfach ein Element rausnehmen und entscheiden "du bist ein Inverses" und "du bist kein Inverses". Invers zu sein, ist eine Relation, die zwei Elemente zueinander haben oder nicht: zwei Elemente $a,b$ sind invers zueinander genau dann, wenn [mm] $a\circ [/mm] b=e$, also das neutrale Element der Gruppe ist. Richtig müsste es heißen, "Zu jedem Element [mm] $h\in [/mm] H$ ist auch das Inverse [mm] $h^{-1}\in [/mm] H$.
Die Einfachste und anschaulichste Definition vom Begriff "Untergruppe" ist: "Ist [mm] $(G,\circ)$ [/mm] eine Gruppe und [mm] $H\subset [/mm] G$, dann heißt $H$ Untergruppe von $G$ genau dann, wenn [mm] $(H,\circ)$ [/mm] selbst wieder eine Gruppe ist.
> Also:
>
> 1.) 0 [mm]\in[/mm] H für [mm]f_{a}=0[/mm]
> 2.) [mm]f_{a1}[/mm] + [mm]f_{a2}[/mm] = f (a1+a2) [mm]\in[/mm] H
> 3.) 0 ist ein neutrales Element in H, 0 [mm]\in[/mm] H
> 4.) [mm]f_{a1}+f_{a2}=0[/mm]
> [mm]f_{a1}=-f_{a2}[/mm]
> a1=-a2
Warum schreibst du jetzt plötzlich $+$ als Verknüpfung und $0$ für das neutrale Element? Die Verknüpfung auf $G$ hieß doch [mm] $\circ$. [/mm] Es ist zwar im Grunde wirklich egal wie man das Ding nennt, aber du musst dir wirklich klar darüber sein dass diese Verknüpfung nichts aber auch gar nichts mit Zahlen zu tun haben muss. Also ich würde vorschlagen, dass wir beim Symbol [mm] $\circ$ [/mm] bleiben, da die Elemente in $H$ nunmal Abbildungen sind und die Operation ist die Verkettung - und die hat nunmal das Symbol [mm] $\circ$.
[/mm]
Also musst du jetzt zeigen:
1.) Für alle [mm] $a,b\in [/mm] H$ ist auch [mm] $a\circ b\in [/mm] H$
2.) Das neutrale Element $e$ von $G$ ist auch in $H$, also [mm] $e\in [/mm] H$.
3.) Für alle [mm] $a\in [/mm] H$ ist auch [mm] $a^{-1}\in [/mm] H$.
Im Grunde kannst du alle Sachen zeigen so wie andreas es gesagt hat, aber wenn dich das verwirrt dann arbeite die Punkte erstmal einzeln ab.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 07.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
> Also musst du jetzt zeigen:
> 1.) Für alle [mm]a,b\in H[/mm] ist auch [mm]a\circ b\in H[/mm]
> 2.) Das
> neutrale Element [mm]e[/mm] von [mm]G[/mm] ist auch in [mm]H[/mm], also [mm]e\in H[/mm].
> 3.)
> Für alle [mm]a\in H[/mm] ist auch [mm]a^{-1}\in H[/mm].
tut mir leid ... aber ich verzweifel langsam echt an den beiden Restteilaufgaben ... irgendwie will ich es nicht verstehen oder dahinterkommen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> tut mir leid ... aber ich verzweifel langsam echt an den
> beiden Restteilaufgaben ... irgendwie will ich es nicht
> verstehen oder dahinterkommen :(
Du bist verwirrt durch die Abstraktheit. Ich will dir das jetzt nicht vorkauen. Die Aufgabe ist im Grunde wirklich einfach, aber sehr abstrakt, daran muss man sicher erst gewöhnen und das geht nicht einfach so von heut auf morgen. Vielleicht machst du erstmal ne Pause und überlegst dann nochmal in Ruhe.
Was ist eine Gruppe? Was ist eine Untergruppe? Was ist die Menge Bij(G)? Was sind die Elemente davon? Wie ist die Gruppenverknüpfung von Bij(G)? Was hat H mit Bij(G) zu tun, wie sehen die Elemente davon aus? Was ist zu zeigen? Es ist sehr wichtig dass du selbst über diese Fragen nachdenkst, denn nur so wirst du es verstehen.
Vielleicht bist du auch noch etwas unsicher was Abbildungen, Verkettungen, Bijektivität, Mengen usw. anbelangt. Vielleicht gehst du nochmal dorthin zurück und rechnest ein Paar Übungsaufgaben. In den meisten Büchern zu "Analysis I" findest du ein Kapitel in dem solche Grundlagen besprochen werden. Schau dir vor allem die Beweise dazu an, denn das ist die eigentliche Mathematik.
Nicht aufgeben... mir gehts auch oft so.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Di 07.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Auf jeden Fall bedank ich mich mal recht herzlich bei dir für deine Mühe und Geduld :D
Das Problem ist nur, dass ich diese Aufgabe abgeben muss, und noch weitere, für mich unlösbare Aufgaben, auf mich warten.
Kannst du mir vllt noch weitere Tipps geben oder mir gar die Lösung aufzeigen, damit ich mir es vllt damit verstehe?
Im Skript find ich leider kein geeignetes Beispiel und das Buch lässt noch auf sich warten.
Liebe Grüße :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Das Problem ist nur, dass ich diese Aufgabe abgeben muss,
> und noch weitere, für mich unlösbare Aufgaben, auf mich warten.
Willkommen im Studium... denke einfach weiter darüber nach. Mach dir keine Sorgen wegen den Übungszetteln, wenn du wirklich nicht drauf kommen solltest und die Punkte unbedingt brauchst, dann schreib es von einem Kommolitonen ab.
> Kannst du mir vllt noch weitere Tipps geben oder mir
> gar die Lösung aufzeigen, damit ich mir es vllt damit verstehe?
Glaub mir, das würde dich kein Stück weiterbringen.
> Im Skript find ich leider kein geeignetes Beispiel und das
> Buch lässt noch auf sich warten.
Geh in die Bibliothek und schau dir ein paar Bücher zu "Analysis I" und "Lineare Algebra I" an. Leih dir am besten gleich mehrere aus und finde selbst heraus mit welchem du am Besten zurecht kommst. Wahrscheinlich kommst du da heut nicht mehr vorbei, dann such mal bei Google nach "Skript Analysis I". Schau dir z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier die ersten Seiten an, so bis "3.1 Komposition von Abbildungen".
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Mi 08.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
wie Robert schon geschrieben hast, scheint das hauptproblem die abstraktion zu sein. beachte insbesondere, dass du zwei verschiedene verknüpfungen hast [mm] $\circ$ [/mm] auf $G$ und [mm] $\circ$ [/mm] auf [mm] $\textrm{Bij}(G)$. [/mm] um die aufgabe zu lösen, musst du insbesondere die zweite verknüpung verstehen. schaue dazu die definition in euerm skript an und dann vielleicht noch 1.1 Beispiele (3), hier heißt die gruppe [mm] $\textrm{Sym}(G)$, [/mm] entspricht aber euerm [mm] $\textrm{Bij}(G)$. [/mm] wenn du das verstanden hast, kannst du dir weitere gedanken über die lösung der aufgabe machen. wenn dir dann noch nicht so recht klar ist, was passiert, rechne die ganze sache mal an einem konkreten beispiel durch, etwa für $G = [mm] C_3 [/mm] = [mm] \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ [/mm] (was ist hier [mm] $\textrm{Bij}(G)$?).
[/mm]
grüße
andreas
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