Bijektion? von R^2 -> R_+ < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Do 11.11.2010 | | Autor: | void. |
| Aufgabe | (x,y) , (a,b) [mm] \in \IR
[/mm]
(x,y) ~ (a,b) : [mm] \gdw x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
Gibt es eine Bijektion des Quotienten [mm] \IR^2/~ [/mm] auf [mm] \overline{\IR_+} [/mm] := {r [mm] \in \IR [/mm] | r [mm] \ge [/mm] 0} ? |
Hallo,
den ersten teil der Aufgabe, mit bew. der Äq-rel, konnte ich über die Äq bed nachweisen.
Aber an dem Teil der Aufgabe komm ich nicht weiter.
Im Tutorium wurde gesagt, dass die Umkehrabb eine Rolle spiele
und man die "wohldefiniertheit" noch prüfen muss?!
Angefangen hab ich bei dem Beweis das es keine Bijektion ist folgendermaßen:
(Es ist doch keine weil die paare ja auch negativ sein können und durch sq nur auf die pos reellen abgebildet werden. Wenn ich net total falsch lieg :] )
Und zwar muss für bijektivität ja Surjektivität und Injektivität vorhanden sein.
Da ich denke, dass die Funktion surjektiv ist (bitte berichtigen wenn falsche annahme),
hab ich versucht über die Bed für injektivität zu beweisen das die eben nicht vorhanden ist:
Damit Injektivität vorhanden ist muss gelten:
[mm] \forall [/mm] (x,y),(a,b) [mm] \in \IR^2/~ [/mm] : f((x,y)) = f((a,b)) [mm] \Rightarrow [/mm] (x,y)=(a,b)
aber jetz hörts auf :s ...ich denke jetz kommt evtl die Umkehrabb ins spiel aber ich weiß nicht wie ich das anwenden soll
Ausserdem ist mir der Strich über dem [mm] \IR_+ [/mm] irgendwie fremd :o
Gruß
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> (x,y) , (a,b) [mm]\in \IR[/mm]
> (x,y) ~ (a,b) $\ [mm] :\gdw\quad x^2+y^2\ [/mm] =\ [mm] a^2+b^2$
[/mm]
> Gibt es eine Bijektion des Quotienten [mm] \IR^2/ [/mm] ~ auf [mm] $\overline{\IR_+}\ [/mm] := [mm] \{r \in \IR\ |\ r\ge\ 0\} [/mm] ?
>
> Hallo,
>
> den ersten teil der Aufgabe, mit bew. der Äq-rel, konnte
> ich über die Äq bed nachweisen.
>
> Aber an dem Teil der Aufgabe komm ich nicht weiter.
> Im Tutorium wurde gesagt, dass die Umkehrabb eine Rolle
> spiele
> und man die "wohldefiniertheit" noch prüfen muss?!
>
> Angefangen hab ich bei dem Beweis das es keine Bijektion
> ist folgendermaßen:
> (Es ist doch keine weil die paare ja auch negativ sein
> können und durch sq nur auf die pos reellen abgebildet
> werden. Wenn ich net total falsch lieg :] )
>
> Und zwar muss für bijektivität ja Surjektivität und
> Injektivität vorhanden sein.
> Da ich denke, dass die Funktion surjektiv ist (bitte
> berichtigen wenn falsche annahme),
> hab ich versucht über die Bed für injektivität zu
> beweisen das die eben nicht vorhanden ist:
>
> Damit Injektivität vorhanden ist muss gelten:
> [mm]\forall[/mm] (x,y),(a,b) [mm]\in \IR^2/~[/mm] : f((x,y)) = f((a,b))
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x,y)=(a,b)
>
> aber jetz hörts auf :s ...ich denke jetz kommt evtl die
> Umkehrabb ins spiel aber ich weiß nicht wie ich das
> anwenden soll
>
> Ausserdem ist mir der Strich über dem [mm]\IR_+[/mm] irgendwie
> fremd :o
Dieser Strich steht für den Abschluss der Menge, d.h. man nimmt
am linken Ende noch die Null dazu. Man schreibt dafür oft [mm] \IR_0^+
[/mm]
> Gruß
Hallo void,
ich empfehle dir, dir anschaulich klar zu machen, wie die
Äquivalenzklassen als Punktmengen in der x-y-Ebene aussehen !
Damit sollte die Idee hinter der Aufgabe sehr leicht ersichtlich
werden.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> (x,y) , (a,b) [mm]\in \IR[/mm]
> (x,y) ~ (a,b) : [mm]\gdw x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = [mm]a^2[/mm]
> + [mm]b^2[/mm]
>
> Gibt es eine Bijektion des Quotienten [mm]\IR^2/~[/mm] auf
[mm] >$\overline{\IR_+} [/mm] := [mm] \{r \in \IR| r \ge 0\} [/mm] $?
>
> Hallo,
>
> den ersten teil der Aufgabe, mit bew. der Äq-rel, konnte
> ich über die Äq bed nachweisen.
>
> Aber an dem Teil der Aufgabe komm ich nicht weiter.
> Im Tutorium wurde gesagt, dass die Umkehrabb eine Rolle
> spiele
> und man die "wohldefiniertheit" noch prüfen muss?!
Von welcher Funktion sprichst Du ???
>
> Angefangen hab ich bei dem Beweis das es keine Bijektion
> ist folgendermaßen:
> (Es ist doch keine weil die paare ja auch negativ sein
> können und durch sq nur auf die pos reellen abgebildet
> werden. Wenn ich net total falsch lieg :] )
Ist die Funktion gemeint: f(x,y)= [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] ??
>
> Und zwar muss für bijektivität ja Surjektivität und
> Injektivität vorhanden sein.
> Da ich denke, dass die Funktion surjektiv ist (bitte
> berichtigen wenn falsche annahme),
> hab ich versucht über die Bed für injektivität zu
> beweisen das die eben nicht vorhanden ist:
>
> Damit Injektivität vorhanden ist muss gelten:
> [mm]\forall[/mm] (x,y),(a,b) [mm]\in \IR^2/~[/mm] : f((x,y)) = f((a,b))
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x,y)=(a,b)
Obiges f ist nicht injektiv ! f(1,0)= f(-1,0)
FRED
>
> aber jetz hörts auf :s ...ich denke jetz kommt evtl die
> Umkehrabb ins spiel aber ich weiß nicht wie ich das
> anwenden soll
>
> Ausserdem ist mir der Strich über dem [mm]\IR_+[/mm] irgendwie
> fremd :o
>
>
>
> Gruß
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:15 Fr 12.11.2010 | | Autor: | void. |
> > (x,y) , (a,b) [mm]\in \IR[/mm]
> > (x,y) ~ (a,b) : [mm]\gdw x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
> = [mm]a^2[/mm]
> > + [mm]b^2[/mm]
> >
> > Gibt es eine Bijektion des Quotienten [mm]\IR^2/~[/mm] auf
> >[mm]\overline{\IR_+} := \{r \in \IR| r \ge 0\} [/mm]?
> >
> > Hallo,
> >
> > den ersten teil der Aufgabe, mit bew. der Äq-rel, konnte
> > ich über die Äq bed nachweisen.
> >
> > Aber an dem Teil der Aufgabe komm ich nicht weiter.
> > Im Tutorium wurde gesagt, dass die Umkehrabb eine Rolle
> > spiele
> > und man die "wohldefiniertheit" noch prüfen muss?!
>
>
> Von welcher Funktion sprichst Du ???
Naja eine Funktion wurde nicht Explizit angegeben.
Das ist aber soweit ich das verstanden habe einfach die Abb der Äq rel auf die Menge [mm] \overline{\IR_+} [/mm] := [mm] \{r \in \IR| r \ge 0\}
[/mm]
also [mm] f=a^2+b^2
[/mm]
> >
> > Angefangen hab ich bei dem Beweis das es keine Bijektion
> > ist folgendermaßen:
> > (Es ist doch keine weil die paare ja auch negativ sein
> > können und durch sq nur auf die pos reellen abgebildet
> > werden. Wenn ich net total falsch lieg :] )
>
> Ist die Funktion gemeint: f(x,y)= [mm]\wurzel{x^2+y^2}[/mm] ??
s.o.
>
>
> >
> > Und zwar muss für bijektivität ja Surjektivität und
> > Injektivität vorhanden sein.
> > Da ich denke, dass die Funktion surjektiv ist (bitte
> > berichtigen wenn falsche annahme),
> > hab ich versucht über die Bed für injektivität zu
> > beweisen das die eben nicht vorhanden ist:
> >
> > Damit Injektivität vorhanden ist muss gelten:
> > [mm]\forall[/mm] (x,y),(a,b) [mm]\in \IR^2/~[/mm] : f((x,y)) = f((a,b))
> > [mm]\Rightarrow[/mm] (x,y)=(a,b)
>
>
> Obiges f ist nicht injektiv ! f(1,0)= f(-1,0)
Das ist ja auch genau meine Annahme :D
aber ich trottel hab vergessen das für ein Gegenbeweis bereits ein Bsp reicht -.- danke..
>
>
> FRED
> >
> > aber jetz hörts auf :s ...ich denke jetz kommt evtl die
> > Umkehrabb ins spiel aber ich weiß nicht wie ich das
> > anwenden soll
> >
> > Ausserdem ist mir der Strich über dem [mm]\IR_+[/mm] irgendwie
> > fremd :o
> >
> >
> >
> > Gruß
> >
> Hallo void,
> ich empfehle dir, dir anschaulich klar zu machen, wie die
> Äquivalenzklassen als Punktmengen in der x-y-Ebene aussehen !
> Damit sollte die Idee hinter der Aufgabe sehr leicht ersichtlich
> werden.
> LG Al-Chw.
also laut wikipedia ist wohldefiniertheit nix anderes als eine Bijektion..damit kann ich das schonmal ignorieren
aber nach [mm] a^2+b^2=f [/mm] werden auch alle neg reellen zahlen (und die jeweils pos) aus [mm] \IR^2 [/mm] auf R_+ abbgebildet, wodurch die Funktion zwar Surjektiv aber nicht Injektiv ist und folglich keine Bijektion
Hoffe das das jetzt richtig ist. Danke für die beiden Antworten
Jetz bleibt nur noch die Frage wo hier die Umkehrabbildung eine Rolle spielen sollte? :/
ups... hab die versehntlich wieder aktiviert. wie kann ich eine frage danach wieder als beantwortet markiern?
Gruß
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Hallo,
ich denke, dass da noch ein gewisses Missverständnis
bezüglich der Aufgabenstellung herrscht. Diese lautet:
Gibt es eine Bijektion des Quotienten [mm] \IR^2 [/mm] / ~
auf [mm] $\overline{\IR_+}\ [/mm] := [mm] \{r \in \IR\ |\ r\ge\ 0\} [/mm] ?
Es geht also keineswegs um eine Funktion von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR_0^+ [/mm] .
Definitionsmenge der gesuchten bijektiven Abbildung
ist die Quotientenmenge von [mm] \IR^2 [/mm] bezüglich der
gegebenen Äquivalenzrelation ~ oder mit anderen Worten
die Menge aller Äquivalenzklassen, in welche [mm] \IR^2 [/mm] durch
die Äquivalenzrelation ~ aufgeteilt wird.
Bevor man sich die Frage nach einer Bijektion überhaupt
stellen kann, muss man sich also um die Äquivalenzklassen
und um die Quotientenmenge kümmern. Dazu ist es
sinnvoll, sich zu überlegen, wie man aus jeder einzelnen
Äquivalenzklasse ein konkret bestimmtes Element als
Repräsentant für die ganze Klasse auszeichnen könnte.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft Dir mein Beitrag in dieser Diskussion weiter:
https://matheraum.de/read?t=733558
FRED
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