Bijektiv- stetig diffbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Fr 13.07.2012 | | Autor: | rolo4 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass f in diesem Fall nicht bijektiv sein kann.
Hinweis: Ist f injektiv? Nutzen Sieden Satz über implizite Funktionen und den Mittelwertsatz |
Habt ihr vielleicht ein Tipp wie ich an die Aufgabe herangehen kann?
Ich kann ja keine bijektivität überprüfen, da ich keine Funktion gegeben habe:/
Es scheitert sicherlich daran, dass f: [mm] \IR^2 \to \IR[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Sa 14.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm doch erst mal ein Bsp. etwa f(x,y)=x*y oder [mm] g(x,y)=x^2+y^2
[/mm]
dann siehst du wie es läuft.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:02 Sa 14.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist f konstant, so ist f natürlich ganz weit weg von bijektiv.
Daher können wir davon ausgehen, dass f nicht konstant ist.
Zeige nun mit dem Mittelwertsatz, das es ein [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2 [/mm] geben muß mit: [mm] $f'(x_0,y_0) \ne [/mm] (0,0).$
O.B.d.A. ist dann [mm] f_y(x_0,y_0) \ne [/mm] 0
Setze [mm] z_0=f(x_0,y_0) [/mm] und [mm] F(x,y):=f(x,y)-z_0.
[/mm]
Dann ist [mm] F(x_0,y_0)=0 [/mm] und [mm] F_y(x_0,y_0) \ne [/mm] 0.
Auf diese Situation lass den Satz über implizit def. Funktionen los. Dann siehst Du, dass f nicht injektiv ist.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Di 17.07.2012 | | Autor: | Benji17 |
Hallöchen,
wir haben jetzt mal versucht den Satz über implizite Funktionen darauf anzuwenden, kommen allerdings nicht zu einem brauchbaren Ergebnis - könnte uns jemand weiterhelfen???
Vielen Dank
=)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Di 17.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich verwende die Bez. aus meiner obigen Antwort.
Der Satz über implizit def. Funktionen besagt nun:
Es gibt eine offene Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] und genau eine stetig differenzierbare Funktion g:U [mm] \to \IR [/mm] mit
[mm] g(x_0)=y_0 [/mm] und F(x,g(x))=0 für alle x [mm] \in [/mm] U.
Somit:
[mm] f(x,g(x))=z_0=f(x_0,g(x_0)) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] U.
Kann f injektiv sein ?
FRED
|
|
|
|
