Bijektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Fr 04.11.2011 | | Autor: | quasimo |
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Hallo quasimo,
> Gibt es zwei Funktionen f und g, die beide nicht bijektiv
> sind, sodass die Zusammensetzung f Ring g bijektiv ist?
>
>
> A [mm]\rightarrow^g[/mm] B [mm]\rightarrow^f[/mm] C
> A [mm]\rightarrow^{f Ring g}[/mm] C
>
> ich weiß nicht recht, wie ich an die Aufgabe rangehen
> soll.
> Idee:
> f: A->B
> g: B->A
> f o g A->A was Id ist also sicher bijektiv
>
> aber wie sag ich einfach dass f und g nicht bijektiv ist?
Na, sowas wie [mm] \IR\to\IR:
[/mm]
f: [mm] x\to e^{x}
[/mm]
g: [mm] x\to \ln{x}
[/mm]
??
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Fr 04.11.2011 | | Autor: | quasimo |
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Hallo quasimo,
> [mm]x\to \ln{x}[/mm]
> ist doch bijektiv?oder irre ich?
> oder nur im intervall log : (0, ∞) → R sonst ist er ja
> nicht definiert.
Ja, das Gegenbsp. war nicht so gut geeignet ...
>
> Aber ich würde gerne zu meinen beispiel zurückkehren
> f: A ->B
> B...Obermenge von A
> heißt abbildung nicht surjektiv, da nicht alle elemente
> von B getroffen werden können
ok
> g: B->A
> Nicht injektiv. Alle Elemente in B, die nicht in A sind
> werden auf beliebiges element aus A ein weiteres mal
> abbgebildet.
Das ist schwammig, erkläre das mal bitte genauer ...
>
> f o g : [mm]A->A=Id_{A}[/mm]
Wieso sollte das id sein? Das ist mir auch in deinem ersten post nicht klar.
> Bijektiv
>
> STimmt das?
Die Idee, zwei der Mengen gleich zu wählen, scheint mir gut zu sein:
Ich habe mal auf dem Schmierzettel folgendes gebastelt, scheint zu klappen:
[mm]A=C=\{3\}[/mm], [mm]B=\{1,2\}[/mm]
[mm]f:B\to C, 1\mapsto 3, 2\mapsto 3[/mm] ist surjektiv, aber nicht injektiv
[mm]g:A\to B, 3\mapsto 1[/mm] ist injektiv, nicht surjektiv
Dann ist [mm]f\circ g:A\to C=\{3\}\to\{3\}, 3\mapsto 3[/mm] bijektiv
Was meinst du?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Sa 05.11.2011 | | Autor: | quasimo |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:52 Sa 05.11.2011 | | Autor: | gnom347 |
Also du gibst immer nur an Von welche Menge in Welche Menge deine Abbildungen Abbilden. Du musst natürlich auch angeben wie die Elemente der Menge abgebildet werden.Sonst kannst du nicht sagen ob die Abbildung surjektiv,injektiv oder bijektiv ist.
> Ja so ein ähnliches Beispiel hab ich mir auch skizziert
> mit A=C={1}, B ={1,2}
> A->B nicht surjektiv
> B->C nicht injektiv
> A->C bijektiv
Ich Glaube hier gibts es nur eine möglichkeit wie die Abbildungen aussehen. Ich würde sie aber dennoch angeben.
> zum allgemeinen
> > g: B->A
Warum willst du Einen allgemeinen fall angeben dir reicht doch ein Gegenbeispiel.
> In B sind mehr Elemente enthalten als in A (da B die
> Obermenge von A ist)
> |B|=m,|A|=n, m>n. Das heißt es kann nicht injektiv sein.
>
> > f o g : [mm][mm] A->A=Id_{A}[/mm
[/mm]
Die folgerung stimmt nicht.Ohne weiteres ich gebe dir ein gegenbeispiel.
A==C={1,2} ,B ={1,2,3}
f: A->B mit f(1)=1 f(2)=2 (nicht surjektiv)
g: B->A mit g(1)=2 g(2)=2 g(3)=2 (nicht injektiv)
f o g: A->A mit f o g(1)=2 f o g(2)=2 (Weder injektiv noch surjektiv
Und auch nicht die ID Abbildung.
>
> Weil in meinen Buch steht: "Ein einfaches aber wichtiges
> Beispiel für eine bijektive Abbildung ist für jede Menge
> A die Identität (auch identische abbildung gennant), die
> jedem a [mm]\in[/mm] A wieder a zuordnet, d.h.
> [mm]Id_{A}:[/mm] A->A, [mm]Id_{A}(a)=a[/mm]
> Tuhen wir dass nicht hier?
>
> Aber wenn das falsch ist lass ich einfach dass mit der
> Identität weg.
> > f o g : f(g(x))
Das was in deinem Buch steht , is nicht falsch aber du hast geschrieben eine Abbildung von A->A sei direckt die ID Abbildung das ist sie natürlich nicht.
Die ID Abbildung ist eben gerade die Abbildung die jedes element x aus A auf eben diese Element x aus A Abbildet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 05.11.2011 | | Autor: | quasimo |
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo quasimo,
ich habe nicht den ganzen Thread durchgelesen, beziehe mich also nur auf diesen Beitrag.
> Ein Mitkollege ist auch an dem Beispiel dran(und ich fra
> mal für ihn). ER meinte mit B Obermenge von A
> f: [mm]Id_{A}[/mm] -> B = f:{2} -> [mm]\IR[/mm] ....nicht surjektiv
> g: B->A= g: [mm]\IR[/mm] -> {2}....nicht injektiv
> g o f: [mm]Id_{A}[/mm] -> A = {2} ->{2}
> Kann dem wer folgen, bzw. stimmt es? Weil dann möchte ich
> es auch verstehen ^^ ;))
Mit gutem Willen kann man sich zusammenreimen, was der Kommilitone damit meinte. (Er hat im Gegensatz zur Aufgabenstellung gerade f und g vertauscht, aber das macht ja nichts.)
Er wählt [mm] $f\colon\{2\}\to\IR, [/mm] f(2)=2$ (eine nicht surjektive Abbildung) und [mm] $g\colon\IR\to\{2\}, [/mm] g(x)=2$ (eine nicht injektive Abbildung). Dann ist [mm] $g\circ f\colon\{2\}\to\{2\}, (g\circ [/mm] f)(2)=2$ die identische Abbildung auf [mm] $\{2\}$ [/mm] und somit bijektiv.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Sa 05.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Und was haben die Identitäten hier verloren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Und was haben die Identitäten hier verloren?
Du meinst in der Lösung deines Kommilitonen? Da wo sie stehen, gar nichts... 
Mit [mm] $A=\{2\}$ [/mm] gilt [mm] $f\circ g=\operatorname{id}_A$.
[/mm]
Mit dem [mm] $\operatorname{id}_A$ [/mm] bei f meinte er wohl, dass $f(x)=x$ für alle [mm] $x\in [/mm] A$ (also für $x=2$) gelten soll.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 05.11.2011 | | Autor: | quasimo |
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Also dann ist es ja egal ob ich das beispiel hernehme oder
> "mein" beispiel. Das allgemeine lass ich weg..
> Oder?
Du meinst dein Beispiel zu Beginn von https://matheraum.de/read?i=833550, oder?
Wie gnom347 schon schrieb: Du solltest noch angeben, wie die Abbildungen denn erklärt sein sollen. Dann kannst du dieses Beispiel nehmen.
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