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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Bijektive Abbildung
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Bijektive Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Do 09.11.2006
Autor: Hollo

Aufgabe
Finde Bijektive Abb.:

[mm]h:\{z \in \IC : |z|<1\} \to \IC - \{z \in \IC : Re z \le 0, Im z =0\}[/mm]

Hallo!
Hab hier zwei lustige Mengen in den komplexen Zahlen.
Also es soll eine bijektive Abbildung sein die Elemente aus dem Einheitskreis auf ganz [mm] \IC [/mm] ohne die negative x-Achse abbildet.. Wie komm ich jetzt auf diese Funktion. Man könnte ja [mm]\{z \in \IC : |z|<1\}[/mm] in Teilmangen aufteilen. Dann einen Teil auf [mm]\{z \in \IC : Im>0\}[/mm], einen auf [mm]\{z \in \IC : Im<0, Re<0\}[/mm] und einen auf [mm]\{z \in \IC : Im<0, Re \ge 0\}[/mm] abbilden....
Trotzdem fehlen mir die Funktionen.. Hat jemand ne Idee?
Gruß Hollo

        
Bezug
Bijektive Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Do 09.11.2006
Autor: Leopold_Gast

Kennst du Möbius-Transformationen? Sie sind bijektive stetige Abbildungen der durch [mm]\infty[/mm] zur Riemannschen Zahlenkugel erweiterten Gaußschen Zahlenebene und bilden Kreise auf Kreise ab, wobei Geraden als Kreise durch [mm]\infty[/mm] angesehen werden.

Jetzt finde eine Möbiustransformation [mm]\mu[/mm], die den Einheitskreis (bestimmt durch die drei Punkte [mm]-1 , \operatorname{i} , 1[/mm]) auf die reelle Achse abbildet, z.B. mittels

[mm]\mu: \ \ -1 \mapsto \infty \, , \ \ \operatorname{i} \mapsto 0 \, , \ \ 1 \mapsto 1[/mm]

Stetige Abbildungen erhalten den Zusammenhang. Die Berechnung von [mm]\mu(0)[/mm] entscheidet dann darüber, ob das Innere des Einheitskreises auf die obere oder untere komplexe Halbebene abgebildet wird (was aber letztlich für das Folgende irrelevant ist). Die Quadratfunktion [mm]q(z) =z^2[/mm] bildet nun die obere (oder untere) Halbebene auf die längs der positiven reellen Achse aufgeschlitzte Gaußsche Zahlebene bijektiv ab. [mm]- q \circ \mu[/mm] ist also eine mögliche Lösung deines Problems.

Du könntest natürlich auch eine Möbiustransformation suchen, die den Einheitskreis auf die imaginäre Achse abbildet und dann unmittelbar die Quadratfunktion nachschalten.

Bezug
                
Bezug
Bijektive Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Do 09.11.2006
Autor: Hollo

Hi!
Vielen Dank! Die Ansätze müssten mir weiterhelfen.. Muss aber noch überlegen wie ich es umsetzte. Meld mich dann nochmal.

Bezug
                        
Bezug
Bijektive Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Do 09.11.2006
Autor: Hollo

Das ganze funktioniert nicht, weil der Einheitskreis nicht zum Definitionsbereich dazu gehört

Bezug
                                
Bezug
Bijektive Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:25 Fr 10.11.2006
Autor: Leopold_Gast

Doch, das funktioniert: [mm]\mu[/mm] bildet die offene Einheitskreisscheibe auf eine Halbebene ab und [mm]q[/mm] fächert diese zur geschlitzten Gaußschen Zahlenebene auf.

Eine Möbiustransformation [mm]\mu[/mm] hat ja die folgende Gestalt:

[mm]\mu: \ \ w = \frac{az + b}{cz + d}[/mm] mit komplexen Parametern [mm]a,b,c,d[/mm] und [mm]ad - bc \neq 0[/mm]

Wegen [mm]\mu(-1) = \infty[/mm] muß [mm]z[/mm] im Nenner echt vorkommen, daher ist [mm]c \neq 0[/mm]. Nach Kürzen durch [mm]c[/mm] und Umbenennung der anderen Parameter kann man daher den folgenden Ansatz wählen:

[mm]\mu: \ \ w = \frac{az + b}{z + d}[/mm]

Wegen [mm]\mu(-1) = \infty[/mm] muß jetzt [mm]d = 1[/mm] gelten:  [mm]w = \frac{az + b}{z + 1}[/mm]

Jetzt hast du noch zwei Parameter [mm]a,b[/mm] zu bestimmen, aber auch noch zwei Bedingungen: [mm]\mu(\operatorname{i}) = 0[/mm] und [mm]\mu(1) = 1[/mm].

Dieses [mm]\mu[/mm] bildet dann den Kreis durch [mm]-1 , \operatorname{i} , 1[/mm] (das ist der Einheitskreis) auf den Kreis durch [mm]\infty , 0 , 1[/mm] (das ist die reelle Achse) ab. Folglich bildet [mm]\mu[/mm] entweder das Innere des Einheitskreis auf die obere Halbebene und das Äußere des Einheitskreises auf die untere Halbebene ab (Bilder zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen sind wieder zusammenhängend) oder umgekehrt: das Innere auf die untere und das Äußere auf die obere Halbebene. Das auf das Innere des Einheitskreises restringierte [mm]\mu[/mm] leistet daher das Gewünschte.

Bezug
                                        
Bezug
Bijektive Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 So 12.11.2006
Autor: Hollo

Ich DARF den Einheitskreis aber nicht auf die reelle Achse abbilden weil im Definitionsbereich steht das z Betrag KLEINER eins sein soll. Folglich gehört der Kreis selbst nicht dazu.

Bezug
                                                
Bezug
Bijektive Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:15 Mo 13.11.2006
Autor: Leopold_Gast

Lies meinen letzten Beitrag noch einmal genau durch. Dann wird dein Einwand hinfällig ...

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