Bijektive Abbildung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Do 09.11.2006 | | Autor: | Hollo |
| Aufgabe | Finde Bijektive Abb.:
[mm]h:\{z \in \IC : |z|<1\} \to \IC - \{z \in \IC : Re z \le 0, Im z =0\}[/mm] |
Hallo!
Hab hier zwei lustige Mengen in den komplexen Zahlen.
Also es soll eine bijektive Abbildung sein die Elemente aus dem Einheitskreis auf ganz [mm] \IC [/mm] ohne die negative x-Achse abbildet.. Wie komm ich jetzt auf diese Funktion. Man könnte ja [mm]\{z \in \IC : |z|<1\}[/mm] in Teilmangen aufteilen. Dann einen Teil auf [mm]\{z \in \IC : Im>0\}[/mm], einen auf [mm]\{z \in \IC : Im<0, Re<0\}[/mm] und einen auf [mm]\{z \in \IC : Im<0, Re \ge 0\}[/mm] abbilden....
Trotzdem fehlen mir die Funktionen.. Hat jemand ne Idee?
Gruß Hollo
|
|
| |
|
Kennst du Möbius-Transformationen? Sie sind bijektive stetige Abbildungen der durch [mm]\infty[/mm] zur Riemannschen Zahlenkugel erweiterten Gaußschen Zahlenebene und bilden Kreise auf Kreise ab, wobei Geraden als Kreise durch [mm]\infty[/mm] angesehen werden.
Jetzt finde eine Möbiustransformation [mm]\mu[/mm], die den Einheitskreis (bestimmt durch die drei Punkte [mm]-1 , \operatorname{i} , 1[/mm]) auf die reelle Achse abbildet, z.B. mittels
[mm]\mu: \ \ -1 \mapsto \infty \, , \ \ \operatorname{i} \mapsto 0 \, , \ \ 1 \mapsto 1[/mm]
Stetige Abbildungen erhalten den Zusammenhang. Die Berechnung von [mm]\mu(0)[/mm] entscheidet dann darüber, ob das Innere des Einheitskreises auf die obere oder untere komplexe Halbebene abgebildet wird (was aber letztlich für das Folgende irrelevant ist). Die Quadratfunktion [mm]q(z) =z^2[/mm] bildet nun die obere (oder untere) Halbebene auf die längs der positiven reellen Achse aufgeschlitzte Gaußsche Zahlebene bijektiv ab. [mm]- q \circ \mu[/mm] ist also eine mögliche Lösung deines Problems.
Du könntest natürlich auch eine Möbiustransformation suchen, die den Einheitskreis auf die imaginäre Achse abbildet und dann unmittelbar die Quadratfunktion nachschalten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Do 09.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Hi!
Vielen Dank! Die Ansätze müssten mir weiterhelfen.. Muss aber noch überlegen wie ich es umsetzte. Meld mich dann nochmal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Do 09.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Das ganze funktioniert nicht, weil der Einheitskreis nicht zum Definitionsbereich dazu gehört
|
|
|
| |
|
Doch, das funktioniert: [mm]\mu[/mm] bildet die offene Einheitskreisscheibe auf eine Halbebene ab und [mm]q[/mm] fächert diese zur geschlitzten Gaußschen Zahlenebene auf.
Eine Möbiustransformation [mm]\mu[/mm] hat ja die folgende Gestalt:
[mm]\mu: \ \ w = \frac{az + b}{cz + d}[/mm] mit komplexen Parametern [mm]a,b,c,d[/mm] und [mm]ad - bc \neq 0[/mm]
Wegen [mm]\mu(-1) = \infty[/mm] muß [mm]z[/mm] im Nenner echt vorkommen, daher ist [mm]c \neq 0[/mm]. Nach Kürzen durch [mm]c[/mm] und Umbenennung der anderen Parameter kann man daher den folgenden Ansatz wählen:
[mm]\mu: \ \ w = \frac{az + b}{z + d}[/mm]
Wegen [mm]\mu(-1) = \infty[/mm] muß jetzt [mm]d = 1[/mm] gelten: [mm]w = \frac{az + b}{z + 1}[/mm]
Jetzt hast du noch zwei Parameter [mm]a,b[/mm] zu bestimmen, aber auch noch zwei Bedingungen: [mm]\mu(\operatorname{i}) = 0[/mm] und [mm]\mu(1) = 1[/mm].
Dieses [mm]\mu[/mm] bildet dann den Kreis durch [mm]-1 , \operatorname{i} , 1[/mm] (das ist der Einheitskreis) auf den Kreis durch [mm]\infty , 0 , 1[/mm] (das ist die reelle Achse) ab. Folglich bildet [mm]\mu[/mm] entweder das Innere des Einheitskreis auf die obere Halbebene und das Äußere des Einheitskreises auf die untere Halbebene ab (Bilder zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen sind wieder zusammenhängend) oder umgekehrt: das Innere auf die untere und das Äußere auf die obere Halbebene. Das auf das Innere des Einheitskreises restringierte [mm]\mu[/mm] leistet daher das Gewünschte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 So 12.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Ich DARF den Einheitskreis aber nicht auf die reelle Achse abbilden weil im Definitionsbereich steht das z Betrag KLEINER eins sein soll. Folglich gehört der Kreis selbst nicht dazu.
|
|
|
| |
|
Lies meinen letzten Beitrag noch einmal genau durch. Dann wird dein Einwand hinfällig ...
|
|
|
|
