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HI Leute, bin mal wieder am Verzweifeln hier:
Ich habe eine Bijektive Funktion, welche zwischen 2 Intervallen nirgendwo monoton ist:
Für 0 <= x <= 1 mit
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x \mbox{ rational} \\ 1-x, & \mbox{falls } x \mbox{ irrational} \end{cases}
[/mm]
Dann gibt es kein Zwischenintervall von [0;1] auf welchem f monoton ist. Das Bild von f ist wieder das Intervall [0;1] und f ist bijektiv
Wie zeige ich hier die Bijektivität dieser Funktion
Des weiteren wird das ganze noch Verallgemeinert
Wenn eine Funktion mit obigen Eigenschaften von dem Intervall [a;b] auf das INtervall [c;d] abgebildet wird, sei
[mm] g(x)=\begin{cases} c+(d-c)*h, & \mbox{falls } h \mbox{ rational} \\ d+(c-d)*h, & \mbox{falls } h \mbox{ irrational} \end{cases}
[/mm]
mit h := (x-a)/(b-a)
Was ist der Hintergrund oder die Motivation dieses Beispieles?
Ist damit gemeint, dass wenn eine solche Funktion stetig und bijektiv ist, dass daraus folgt dass sie monoton ist?
Könnte ich das eventuell mit dem Zwischenwertsatz beweisen? Falls ja, wie?
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Hallo!
> Ich habe eine Bijektive Funktion, welche zwischen 2
> Intervallen nirgendwo monoton ist:
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> Für 0 <= x <= 1 mit
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> [mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x \mbox{ rational} \\ 1-x, & \mbox{falls } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]
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> Dann gibt es kein Zwischenintervall von [0;1] auf welchem f
> monoton ist. Das Bild von f ist wieder das Intervall [0;1]
> und f ist bijektiv
>
> Wie zeige ich hier die Bijektivität dieser Funktion
Sollst du nur die Bijektivität der Funktion f zeigen? Wozu dann noch der ganze "Kram" mit dem Zwischenintervall und so? Naja, ich würde sagen, die Funktion ist bijektiv, weil sowohl die Funktion x als auch die Funktion 1-x bijektiv sind, oder mache ich es mir hier zu einfach?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Nun ja, ich denke mal,
Ich soll es richtig beweisen, dass sie tatsächlich bijektiv ist und zwar falls x rational ist und falls x irrational ist.
Und der andere "Kram" bedeutet ja, dass ich zeigen soll, dass eine Funktion welche von einem Intervall a,b auf ein Intervall c,d nur monoton sein kann, falls diese stetig und bijektiv ist; und dies soll ebenfall gezeigt werden.
Nur das verstehe ich noch nicht so ganz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo ihr beiden,
ich denke im Grund liegt Bastiane gar nicht so verkehrt. Die Funktion $g: [mm] \begin{cases} \IQ \to \IQ \\ x \mapsto x \end{cases}$ [/mm] und die Funktion $h: [mm] \begin{cases} \IR\setminus\IQ \to \IR\setminus \IQ \\ x \mapsto 1-x \end{cases}$ [/mm] sind bijektiv. Da [mm] $D_g\cap D_h [/mm] = [mm] \{\}$ [/mm] und [mm] $W_g\cap W_h [/mm] = [mm] \{\}$ [/mm] ist dann auch die Funktion $f$ die durch $g$ und $h$ definiert ist bijektiv.
Ich denke mal du sollst die fehlenden Monotonie auch nachweisen. Ich würde mit der Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] einen Widerspruchsbeweis führen. Also angenommen $f$ wäre in einem Intervall monoton steigend/fallend ...
Zu den anderen Punkten: Gerade über streng monoton wachsende Funktion weiß man doch, dass sie bijektiv sind - $f$ hat keinerlei Monotonieeigenschaft und ist trotzdem bijektiv. Ich denke dass soll ein Nachweis sein, dass [mm] $\text{streng monoton} \Rightarrow \text{bijektiv}$ [/mm] aber nicht [mm] $\text{streng monoton} \gdw \text{bijektiv}$ [/mm] gilt.
Gruß Max
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