Bijektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Seien f:X-->Y und g:Y--->Z bijektive Abbildungen.Dann ist g [mm] \circ [/mm] f bijektiv und es gilt (g [mm] \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1} [/mm] (als Abbildungen Z-->X). |
Hallo,
ich versuche grad den Beweis zu dieser Aussage zu nachvollzihen,verstehe aber eine Stelle nicht.
Beweis:
Sei z [mm] \in [/mm] Z.Dann gibt es genau ein x [mm] \in [/mm] X mit (g [mm] \circ [/mm] f)(x)=z und es gilt (g [mm] \circ f)^{-1}(z)=x
[/mm]
Wir haben [mm] (f^{-1} \circ g^{-1})(z)=f^{-1}(g^{-1}(z))=f^{-1}(g^{-1}(g \circ f(x))=f^{-1}(g^{-1}(g(f(x)))) [/mm] =f(x),da g bijektiv
[mm] =f^{-1}(f(x))=x,da [/mm] f bijektiv.
Meine erste Frage ist,ob mit (g [mm] \circ f)^{-1} [/mm] die Umkehrabbildung gemeint ist?
Und dann versteh ich diesen Teil nicht "...=f(x),da g bijektiv". Dass da f(x) rauskommen muss,ist mir klar,aber ich versteh den Zuhammenhang davon zur Bijektivität von g nicht.
Kann mir das bitte jemand erklären?
Vielen Dank
lg
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> Seien f:X-->Y und g:Y--->Z bijektive Abbildungen.Dann ist
> g [mm]\circ[/mm] f bijektiv und es gilt (g [mm]\circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}[/mm]
> (als Abbildungen Z-->X).
> Hallo,
>
> ich versuche grad den Beweis zu dieser Aussage zu
> nachvollzihen,verstehe aber eine Stelle nicht.
>
> Beweis:
> Sei z [mm]\in[/mm] Z.Dann gibt es genau ein x [mm]\in[/mm] X mit (g [mm]\circ[/mm]
> f)(x)=z und es gilt (g [mm]\circ f)^{-1}(z)=x[/mm]
> Wir haben
> [mm](f^{-1} \circ g^{-1})(z)=f^{-1}(g^{-1}(z))=f^{-1}(g^{-1}(g \circ f(x))=f^{-1}(g^{-1}(g(f(x))))[/mm]
> =f(x),da g bijektiv
> [mm]=f^{-1}(f(x))=x,da[/mm] f bijektiv.
>
> Meine erste Frage ist,ob mit (g [mm]\circ f)^{-1}[/mm] die
> Umkehrabbildung gemeint ist?
Hallo,
ja, die von [mm] g\circ [/mm] f.
> Und dann versteh ich diesen Teil nicht "...=f(x),da g
> bijektiv". Dass da f(x) rauskommen muss,ist mir klar,aber
> ich versteh den Zuhammenhang davon zur Bijektivität von g
> nicht.
Weil g bijektiv ist, hat g eine Umkehrabbildung [mm] g^{-1} [/mm] mit [mm] g\circ g^{-1}=id_Z [/mm] und [mm] g^{-1}\circ [/mm] g=id Y.
Gruß v. Angela
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