Bijektivität < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:26 Fr 29.06.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | EDIT: Oder könnt ihr mir sagen, wie man allgemein zeigt, dass eine Funktion mehrerer Variablen injektiv bzw. surjektiv ist? |
Entweder ich stehe schon seit 1 h auf dem Schlauch oder ich versteh es einfach nicht. Könnt ihr mir ein Tipp geben, wie ich da ran gehen soll?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Fr 29.06.2012 | | Autor: | hippias |
Was ist denn genau Dein Problem?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Fr 29.06.2012 | | Autor: | saendra |
Also wenn ich eine Funktion $ f: [mm] \IR \supseteq [/mm] D [mm] \to \IR [/mm] $ habe, dann wäre ja eine Möglichkeit nachzuprüfen, ob $ f $ injektiv ist, zu gucken ob $ f $ streng monoton ist.
Aber so etwas geht ja nicht bei einer Funktion $ g: [mm] \IR^n \supseteq [/mm] D [mm] \to \IR^n [/mm] $ für $ n>1 $, da dann auf [mm] \IR^n [/mm] keine größer-kleiner-Relation definiert ist. Wie kann ich das sonst angehen?
z.B. wenn ich die Funktion $ h: [mm] \IR^2 \supseteq [/mm] D [mm] \to \IR^2,\ [/mm] g(x,y)= [mm] \vektor{-x+y^3\ \\ xy} [/mm] $ habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Sa 30.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also wenn ich eine Funktion [mm]f: \IR \supseteq D \to \IR[/mm]
> habe, dann wäre ja eine Möglichkeit nachzuprüfen, ob [mm]f[/mm]
> injektiv ist, zu gucken ob [mm]f[/mm] streng monoton ist.
>
> Aber so etwas geht ja nicht bei einer Funktion [mm]g: \IR^n \supseteq D \to \IR^n[/mm]
> für [mm]n>1 [/mm], da dann auf [mm]\IR^n[/mm] keine
> größer-kleiner-Relation definiert ist. Wie kann ich das
> sonst angehen?
>
> z.B. wenn ich die Funktion [mm]h: \IR^2 \supseteq D \to \IR^2,\ g(x,y)= \vektor{-x+y^3\ \\ xy}[/mm]
> habe?
Ein Kochrezept zur Überprüfung von Injektivität oder Surjektivität gibt es nicht !
Obiges g ist weder injektiv noch surjektiv.
g(1,1)=g(-1,-1)
g(x,y) [mm] \ne [/mm] (0,-1) für alle (x,y)
FRED
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moin,
Fred hat Recht, ein allgemeingültiges Kochrezept gibt es nicht.
Allerdings habe ich mal ein wenig in der Küche rumgespielt und das ist bei rausgekommen:
Sei $f: [mm] \IR^n \to \IR^m$ [/mm] mit $f(x) = [mm] \vektor{f_1(x) \\ f_2(x) \\ \vdots \\ f_m(x)}$ [/mm] wobei $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] und $f: [mm] \IR^n \to \IR$.
[/mm]
Notwendiges Kriterium dafür, dass $f$ surjektiv ist, ist dass alle [mm] $f_i$ [/mm] surjektiv sind.
Sei dafür eines der [mm] $f_i$, [/mm] oBdA [mm] $f_1$ [/mm] nicht surjektiv. Dann gibt es ein $a [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a [mm] \not\in Bi(f_1)$. [/mm] Damit ist aber auch [mm] $\vektor{a \\ \vdots}$ [/mm] für beliebige untere Einträge nicht im Bild von $f$.
Diese Bedingung ist schonmal sehr praktisch um Surjektivität auszuschließen.
Leider ist sie nicht hinreichend, nehme dir als Beispiel etwa:
$f: [mm] \IR^2 \to \IR^2, \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{x \\ x}$. [/mm] Die Abbildungen [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] sind hier surjektiv, aber trotzdem kannst du dir sicher leicht klar machen, wieso $f$ selber nicht surjektiv ist.
Ein hinreichendes Kriterium für Surjektivität sieht schon etwas unschöner aus:
Schritt 1: Überprüfe das notwendige Kriterium.
Schritt 2: Wähle $a [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig und setze [mm] $f_1(x) [/mm] = a$. Dadurch erhälst du gewisse Relationen, die du in die anderen [mm] $f_i$ [/mm] einsetzen kannst.
Schritt 3: Wiederhole das ganze, bis du bei [mm] $f_n$ [/mm] angekommen bist.
Das klingt jetzt sehr wage, deshalb mal an deinem Beispiel:
$ g: [mm] \IR^2 \supseteq [/mm] D [mm] \to \IR^2,\ [/mm] g(x,y)= [mm] \vektor{-x+y^3\ \\ xy} [/mm] $
Ich setze hier den zweiten auf $a$, weil das die Sache etwas einfacher macht.
Da wir hier ein Produkt haben ist eine Fallunterscheidung nötig:
Fall 1: $a=0$. Dann soll also $xy=0$ sein.
Fall 1a: $x=0$. Dann haben wir in der ersten Koordinate noch [mm] $y^3$ [/mm] stehen, was bekanntermaßen als Funktion von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] surjektiv ist.
Fall 1b: $y=0$. Dann haben wir in der ersten $-x$ stehen, auch das ist surjektiv.
Damit ist schonmal gezeigt, dass sich [mm] $\vektor{b \\ 0}$ [/mm] für alle $b [mm] \in \IR$ [/mm] darstellen lässt.
Fall 2: $a [mm] \neq [/mm] 0$. Dann ist $x = [mm] \frac{a}{y}$.
[/mm]
Setzen wir das in den oberen Eintrag ein so erhalten wir [mm] $y^3 [/mm] - [mm] \frac{a}{y}$ [/mm] und wir stellen uns die Frage, ob diese Funktion (wieder von [mm] $\IR \to \IR$) [/mm] surjektiv ist.
Sei also $b [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig. Wir suchen ein $y [mm] \in \IR$, [/mm] sodass [mm] $y^3-\frac{a}{y} [/mm] = b$; überdies wollen wir dieses $y$ für alle $a [mm] \neq [/mm] 0$ finden.
Da $a = xy [mm] \neq [/mm] 0$ ist $y [mm] \neq [/mm] 0$ und wir können damit multiplizieren, erhalten dann [mm] $y^4-by=a$.
[/mm]
An der Stelle sieht man schon, dass $b=0$ und $a<0$ zu einem Widerspruch führen wird.
Somit ist die Abbildung also nicht surjektiv und wir finden etwa das Gegenbeispiel von Fred.
Wie du siehst ist das hinreichende alles andere als schön und es dürfte in den meisten Fällen leichter sein das ganze von Hand zu machen. Alternativ gibt es sicher ein paar schöne Sätze zu, die besagen, dass $f$ unter gewissen Bedingungen surjektiv ist; diese könnten dir zumindest in machen Fällen helfen.
Für Injektivität gibt es aber ein sehr schönes hinreichendes Kriterium:
Ist eines der [mm] $f_i$ [/mm] (ja, hier reicht eines!) - oBdA [mm] $f_1$ [/mm] - injektiv, so ist $f$ injektiv.
Seien dafür $x,y [mm] \in \IR^n$ [/mm] so, dass $f(x)=f(y)$. Dann ist insbesondere [mm] $f_1(x) [/mm] = [mm] f_1(y)$. [/mm] Da [mm] $f_1$ [/mm] injektiv ist, folgt daraus $x=y$ und $f$ ist somit injektiv.
Bei deinem Beispiel sind beide [mm] $f_i$ [/mm] nicht inejektiv, ein Gegenbeispiel hat Fred ja freundlicherweise schon gegeben.
Allerdings ist das nur ein hinreichendes Kriterium, ein notwendiges habe ich leider nicht gefunden.^^
Mit diesen beiden kannst du zumindest das Widerlegen von Surjektivität und das Zeigen von Injektivität auf reellwertige Funktionen zurückführen, wo du ja eine ganze Reihe von Sätzen (Monotonie, Zwischenwertsatz, etc.) hast, die dir dabei helfen können.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:16 So 01.07.2012 | | Autor: | saendra |
Ich geh auf deine Antwort morgen ein Schadow! Danke für deine Antwort!
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Hiho,
zum Thema Injektivität: Allen Erklärungen zum trotz läuft es im Allgemeinen immer auf folgendes Hinaus:
Du fängt bei $f(x) = f(y)$ an und erhälst damit ein Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten.
Zeige, dass dieses Gleichungssystem nur die Lösung x=y hat.
Verfahren dazu sollten bekannt sein.
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 So 01.07.2012 | | Autor: | saendra |
Danke Gono.
Wenn ich jetzt aber dies habe $ f: [mm] \IR^n \to B_1(0),\ f(x)=\bruch{x}{1+||x||} [/mm] $, wobei [mm] B_1(0) [/mm] die n-dimensionale 1-Kugel um den Ursprung ist. Wie soll daraus ein GS werden?
[mm] \vektor{\bruch{x_1}{1+\wurzel{x_1^2+...+x_n^2}} \\ \vdots \\ \bruch{x_n}{1+\wurzel{x_1^2+...+x_n^2}} }=\vektor{\bruch{y_1}{1+\wurzel{y_1^2+...+y_n^2}} \\ \vdots \\ \bruch{y_n}{1+\wurzel{y_1^2+...+y_n^2}} } [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 So 01.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke Gono.
>
> Wenn ich jetzt aber dies habe [mm]f: \IR^n \to B_1(0),\ f(x)=\bruch{x}{1+||x||} [/mm],
> wobei [mm]B_1(0)[/mm] die n-dimensionale 1-Kugel um den Ursprung
> ist. Wie soll daraus ein GS werden?
>
> [mm]\vektor{\bruch{x_1}{1+\wurzel{x_1^2+...+x_n^2}} \\ \vdots \\ \bruch{x_n}{1+\wurzel{x_1^2+...+x_n^2}} }=\vektor{\bruch{y_1}{1+\wurzel{y_1^2+...+y_n^2}} \\ \vdots \\ \bruch{y_n}{1+\wurzel{y_1^2+...+y_n^2}} }[/mm]
> ?
Du hast es doch hingeschrieben !!
FRED
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Hiho,
nachdem fred dir ja bereits bestätigt hat, wie das Gleichungssystem aussieht, gibts aber auch hier einen wesentlich schnelleren Weg (was wieder beweist, dass es nicht DAS Patentrezept gibt).
Kurze Skizze:
$f(x) = f(y) [mm] \quad\Rightarrow\quad [/mm] ||f(x)|| = ||f(y)|| [mm] \quad\Rightarrow\quad [/mm] ||x|| = ||y||$
Und damit sofort:
$f(x) = f(y) [mm] \quad\Rightarrow\quad [/mm] x=y$
MFG,
Gono.
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