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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | | Es gilt zu zeigen, dass F (x,y) = (x-xy , xy) auf [mm] \IR^{2} [/mm] eine bijektive Abbildung ist. |
Hallo, kann mir jemand mal bei meinen Gedankengängen helfen, bzw. mal schauen ob es richtig ist?
Vielen dank...
Mit freundlichen Grüßen
Felix
Bijektiv Abb. ist inj. und surj..
zur Injektivität:
F (x,y) = F (a,b)
xy = ab trift zu wenn a=y und b=x (1. Möglichkeit)
oder wenn a = x und b = y (2. Möglichkeit)
nun betrachtet man den Term : x-xy = a - ab
dies ist nur erfüllt wenn a=x und b=y ist, damit fällt 1. Möglichkeit weg.
--> F ist injektiv
zur Surjektivität:
F(x,y) = (v,w)
v= x(1-y) [mm] \Rightarrow [/mm] x = v / (1-y)
w = xy [mm] \Rightarrow [/mm] y = w / x
damit ist F (v / (1-y) , w / x) = (v , w)
--> F ist surjektiv
[mm] \Rightarrow [/mm] F ist bijektiv
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> Es gilt zu zeigen, dass F (x,y) = (x-xy , xy) auf [mm]\IR^{2}[/mm]
> eine bijektive Abbildung ist.
> Hallo, kann mir jemand mal bei meinen Gedankengängen
> helfen, bzw. mal schauen ob es richtig ist?
> Vielen dank...
> Mit freundlichen Grüßen
> Felix
>
>
> Bijektiv Abb. ist inj. und surj..
> zur Injektivität:
> F (x,y) = F (a,b)
> xy = ab trift zu wenn a=y und b=x (1. Möglichkeit)
> oder wenn a = x und b = y
Hallo,
nein das stimmt nicht: z.B. ist 144= 2*72= 12*12.
Überleg mal anders: wenn F(a,b)=F(x,y),
dann ist gleichzeitig xy=ab und x+xy=a+ab.
==> x+xy=a+ ... ==> x=a
Wenn nun a und x gleich sind, dann hast Du xy=ab <==> xy=xb ==> ??? Und jetzt solltest Du bzgl der Injektivität ins Grübeln kommen, und vielleicht an einem Beispiel zeigen, daß die Funktion gar nicht injektiv ist.
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> --> F ist injektiv
>
>
> zur Surjektivität:
> F(x,y) = (v,w)
Das ist stark verkürzt, und das rächt sich gleich.
Du mußt doch zeigen, daß Du zu jedem vorgegebenen (v,w) passende x und y findest, so daß F(x,y) = (v,w)
> v= x(1-y) [mm]\Rightarrow[/mm] x = v / (1-y)
> w = xy [mm]\Rightarrow[/mm] y = w / x
>
> damit ist F (v / (1-y) , w / x) = (v , w)
Nee, so geht das nicht.
Im Punkt (v / (1-y) , w / x) schwirren ja noch lustig x und y herum, Deine Variablen.
Wenn ich F (v / (1-y) , w / x) ausrechne, habe ich ja nicht (v,w) dastehen.
Gruß v. Angela
>
> --> F ist surjektiv
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] F ist bijektiv
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