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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Do 23.08.2007 | | Autor: | Ilias |
| Aufgabe | | die lineare abbildung f1 sei gegeben durch f1(x1, x2, x3)= (x1-x2, 2*x1+x3, 0). Berechnen sie das bild und den kern von f1 und geben sie jeweils die abbildungsmatrix an |
Erstmal hallo alle zusammen...
meine Frage bezieht sich wie ihr sicherlich erraten könnt auf die oben gestellte aufgabe. Kann ich um das bild und den kern von f1 zu berechnen folgendermaßen vorgehen?
ich schreibe einfach die matrix f1 und die einheitsmatrix nebeneinander:
1 -1 0 | 1 0 0
2 0 1 | 0 1 0
0 0 0 | 0 0 1
bringe f1 auf stufenzeilenform und bekomme folgendes herraus:
1 -1 0| 1 0 0 linke matrix= bild
0 -2 1|-2 1 0 rechte matrix= kern
0 0 0| 0 0 1
Nun weis ich das f1 nicht den vollen rang hat und mit dem bild-kern-satz kann ich nun sagen:
3(zeilen)= 2(rang von f1) + 1(rang vom kern)
Nun meine fragen:
-stimmt das was ich da fabriziert habe?
-wenn ja, reicht das um die aufgabe gelöst zu haben?
-was ist die abbildungsmatrix?
ich danke euch im vorraus
gruß Ilias
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[Hier gibst du bitte die direkten Links zu diesen Fragen an.]
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Hallo Ilias,
das hast du ziemlich "schwammig" formuliert.
Ich versuch mal, ein paar Erklärungen dazu zu schreiben 
Also gegeben ist die lineare Abbildung [mm] f_1:\IR^3\to\IR^3 [/mm] , [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}\mapsto\vektor{x_1-x_2\\2x_1+x_3\\0}
[/mm]
> ich schreibe einfach die matrix f1 und die einheitsmatrix
> nebeneinander:
hmmm, [mm] f_1 [/mm] ist eine (lineare) Abbildung und keine Matrix
>
> 1 -1 0 | 1 0 0
> 2 0 1 | 0 1 0
> 0 0 0 | 0 0 1
eine lineare Abbildung kann bzgl. einer Basis [mm] \underline{eindeutig} [/mm] durch eine Matrix (Abbildungsmatrix) dargestellt werden, sie wird festgelegt durch die Bilder der Basisvektoren (genauer durch die Koordinaten, die man erhält, wenn man die Bilder der Basisvektoren als LK der Basisvektoren darstellt - diese bilden dann die Spalten der Abbildungsmatrix)
Das ist bzgl. der Standardbasis besonders einfach, da sind's direkt die Bilder der Basisvektoren
Hier hast du (unbewusst? ) die Standardbasis [mm] \IB=\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1}\} [/mm] zu Grunde gelegt.
es ist [mm] f_1\vektor{1\\0\\0}=\vektor{1\\2\\0}=\red{1}\cdot{}\vektor{1\\0\\0}+\red{2}\cdot{}\vektor{0\\1\\0}+\red{0}\cdot{}\vektor{0\\0\\1} \Rightarrow \vektor{\red{1}\\\red{2}\\\red{0}} [/mm] ist die erste Spalte der Abbildungsmatrix von [mm] f_1 [/mm] bzgl. [mm] \IB
[/mm]
weiter [mm] f_1\vektor{0\\1\\0}=\vektor{-1\\0\\0} \Rightarrow [/mm] das ist die zweite Spalte der Abbildungsmatrix von [mm] f_1 [/mm] bzgl. [mm] \IB
[/mm]
und [mm] f_1\vektor{0\\0\\1}=\vektor{0\\1\\0} \Rightarrow [/mm] das ist die dritte Spalte der Abbildungsmatrix von [mm] f_1 [/mm] bzgl. [mm] \IB
[/mm]
Also hast du [mm] M_\IB(f_1)=\pmat{ 1 & -1&0 \\ 2 & 0&1\\0 & 0&0 } [/mm] als Abbildungsmatrix von [mm] f_1 [/mm] bzgl. [mm] \IB
[/mm]
dh. es ist [mm] f_1\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\pmat{ 1 & -1&0 \\ 2 & 0&1\\0 & 0&0 }\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}
[/mm]
> bringe f1 auf stufenzeilenform und bekomme folgendes
> herraus:
>
> 1 -1 0| 1 0 0 linke matrix= bild
> 0 -2 1|-2 1 0 rechte matrix= kern hmmm ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> 0 0 0| 0 0 1
>
> Nun weis ich das f1 nicht den vollen rang hat und mit dem
> bild-kern-satz kann ich nun sagen:
>
> 3(zeilen)= 2(rang von f1) + 1(rang vom kern) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") vom Ergebnis der Aussage, aber der Weg...
>
>
> Nun meine fragen:
> -stimmt das was ich da fabriziert habe?
ansatzweise ja, aber es scheint nicht alles "gesackt" zu sein...
> -wenn ja, reicht das um die aufgabe gelöst zu haben?
Nein, es fehlen doch die Angaben von Kern und Bild
> -was ist die abbildungsmatrix?
s.o.
Also, die [mm] \underline{Spalten} [/mm] der Abbildungsmatrix spannen das [mm] Bild(f_1) [/mm] auf,
weiter gilt [mm] $dim(Bild(f_1))=rang(M_{\IB}(f_1))$, [/mm] also ist dein Ansatz, die Matrix in ZSF zu bringen (und somit ihren Rang zu bestimmen), schon ganz richtig.
Es ist ja Zeilenrang=Spaltenrang!!
Den Rang der Abbildungsmatrix von [mm] f_1 [/mm] bzgl- [mm] \IB, [/mm] also 2, hast du richtig bestimmt. Also weißt du,
dass die Dimension des Bildes 2 ist.
Damit kannst du dir 2 linear unabhängige Spalten(vektoren) [mm] v_1,v_2 [/mm] der Abbildungsmatrix raussuchen, die bilden dann eine Basis des Bildes von [mm] f_1.
[/mm]
Das Bild ist dann der Spann dieser beiden [mm] Vektoren...Bild(f_1)=\langle v_1,v_2\rangle
[/mm]
Auch gut war das mit dem Dimensionssatz
Richtig erkannt, ist [mm] $dim(Kern(f_1))=1$
[/mm]
Wie bestimmt man nun den Kern von [mm] f_1?
[/mm]
Durch Lösen der Gleichung [mm] M_{\IB}(f_1)\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0\\0} [/mm] bzw. [mm] f_1\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Denn der Kern einer linearen Abbildung enthält ja genau die Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden
Dazu hast du schon (intuitiv ? ) [mm] M_{\IB}(f_1) [/mm] in ZSF gebracht (aber einen kleinen VZF):
(die -2 muss eine [mm] \red{+}2 [/mm] sein)
> 1 -1 0
> 0 [mm] \red{+}2 [/mm] 1
> 0 0 0
Du hast eine Nullzeile und damit eine freie Variable
Nehmen wir [mm] x_3=t [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Dann weiter eingesetzt ergibt sich [mm] x_1=x_2=-\frac{t}{2}
[/mm]
Also ist ein Vektor aus dem [mm] Kern(f_1) [/mm] von der Gestalt [mm] \vektor{-\frac{t}{2}\\-\frac{t}{2}\\t}=\tilde{t}\vektor{1\\1\\-2} [/mm] mit [mm] t,\tilde{t}\in\IR
[/mm]
Also ist der Kern genau der Spann von [mm] \vektor{1\\1\\-2} [/mm] (also eindimensional - passt also)
> ich danke euch im vorraus
>
> gruß Ilias
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [Hier gibst du bitte die direkten Links zu diesen Fragen
> an.]
>
Das war zwar jetzt ein bissl viel auf einmal, aber lies alles mal in Ruhe durch...
LG
schachuzipus
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