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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Di 08.05.2012 | | Autor: | jackyooo |
| Aufgabe | Gegeben seien folgende reelle Matrizen
P= [mm] \begin{bmatrix}
-3 & -1 & -1\\
0 & -1 & -1\\
\end{bmatrix}
[/mm]
Q= [mm] \begin{bmatrix}
1& -1\\
-1 & 2\\
1 & 1\\
\end{bmatrix}
[/mm]
a) Geben Sie die Abbildungsvorschrit von P o Q an.
b) Stellen Sie Bild und Kern von P o Q möglichst einfach dar. |
Hey,
ich will gerade die beiden obrigen Aufgaben lösen.
Bedeutet das mit der Abbildungsvorschrit einfach, dass ich schreibe:
[mm]\vec x |-> P * Q * \vec x
= \begin{bmatrix}
-3 & 0\\
0 & -3\\
\end{bmatrix} * \vec x[/mm]
?
Und zu b): Der Kern ist doch definiert als
[mm]M * \vec x = \vec 0[/mm] oder?
sprich:
[mm]\begin{bmatrix}
-3 & 0\\
0 & -3\\
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}
x\\
y\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-3x\\
-3y\\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0\\
0\\
\end{bmatrix}[/mm]
Ist das Korrekt? Was ist eigentlich die genaue Bedeutung des Kerns? Und wie berechne ich das Bild? Ist Bild das selbe wie Urbild?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin,
> Gegeben seien folgende reelle Matrizen
>
> P= [mm]\begin{bmatrix}
-3 & -1 & -1\\
0 & -1 & -1\\
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Q= [mm]\begin{bmatrix}
1& -1\\
-1 & 2\\
1 & 1\\
\end{bmatrix}[/mm]
>
> a) Geben Sie die Abbildungsvorschrit von P o Q an.
> b) Stellen Sie Bild und Kern von P o Q möglichst einfach
> dar.
>
> Hey,
>
> ich will gerade die beiden obrigen Aufgaben lösen.
> Bedeutet das mit der Abbildungsvorschrit einfach, dass ich
> schreibe:
>
> [mm]\vec x |-> P * Q * \vec x
= \begin{bmatrix}
-3 & 0\\
0 & -3\\
\end{bmatrix} * \vec x[/mm]
>
> ?
Wenn du $P*Q$ richtig berechnet hast (was ich einfach mal vermute^^) dann ja.
> Und zu b): Der Kern ist doch definiert als
> [mm]M * \vec x = \vec 0[/mm] oder?
> sprich:
Nicht ganz.
Der Kern ist die Menge aller $x$, die obige Gleichung erfüllen.
> [mm]\begin{bmatrix}
-3 & 0\\
0 & -3\\
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}
x\\
y\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-3x\\
-3y\\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0\\
0\\
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Ist das Korrekt? Was ist eigentlich die genaue Bedeutung
> des Kerns?
Wie gesagt brauchst du jetzt noch die Menge aller Elemente, die dies erfüllen.
Der Kern ist also alles, was von der Matrix auf 0 abgebildet wird.
> Und wie berechne ich das Bild? Ist Bild das
> selbe wie Urbild?
Nein, das ist ein großer Unterschied.
Der Begriff des Urbilds macht hier gar keinen Sinn; ich würd die Definition an deiner Stelle nochmal nachschlagen.
Das Bild ist die Menge aller $PQ*x$, also die Menge aller Vektoren, die darstellbar sind.
Also wenn man es mal für Abbildungen betrachtet:
$f: M [mm] \to [/mm] N, x [mm] \mapsto [/mm] f(x)$, dann ist
Bild$(f) := [mm] \{ y \in N \mid \exists x \in M : f(x) = y \}$, [/mm] also die Menge aller $y [mm] \in [/mm] N$, die unter $f$ als Funktionswert angenommen werden.
Das Bild ist immer ein Teil des Wertebereichs, aber nicht immer der gesamte (ist es der gesamte, so heißt die Abbildung surjektiv).
Wie du es berechnest darfst du dir mal überlegen. Im Allgemeinen hilft der Gaußalgorithmus, aber bei deiner besonderen Form von $P*Q$ sollte das auch ohne - also durch scharfes Hinsehen - machbar sein.
lg
Schadow
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