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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion mit [mm] T:\IR^{3}\to\IR^{4}.
[/mm]
[mm] T_{1}=\vektor{1 \\ -3 \\ 2 \\ 4} T_{2}=\vektor{5 \\ -3 \\ 0 \\ 2} T_{3}=\vektor{-2 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm]
Berechne dimBild(T), dimKern(T) und eine Basis von Bild und Kern
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[mm] A=\pmat{ 1 & 5 & -2 \\ -3 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 1}
[/mm]
habe nun diese matrix umgeformt und kriege raus:
[mm] A=\pmat{ 1 & 5 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
rg=3=dim(Bild(T)) und somit ist dim(Kern)=1.
als bild habe ich die 3 spalten genommen:
Bild= [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 2 \\ 4 },\vektor{5 \\ -3 \\ 0 \\ 2 },\vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
beim Kern hab ich [mm] x_{3} [/mm] frei gewählt,also [mm] x_{3}=1
[/mm]
[mm] x_{2}=1/2 x_{1}=-1/2
[/mm]
[mm] Kern(T)=\vektor{-1/2 \\ 1/2 \\ 1 }
[/mm]
richtig??wenn nicht,was hab ich falsch gemacht?
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo imbroken603,
> Gegeben sei die Funktion mit [mm]T:\IR^{3}\to\IR^{4}.[/mm]
> [mm]T_{1}=\vektor{1 \\ -3 \\ 2 \\ 4} T_{2}=\vektor{5 \\ -3 \\ 0 \\ 2} T_{3}=\vektor{-2 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> Berechne dimBild(T), dimKern(T) und eine Basis von Bild und
> Kern
>
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 5 & -2 \\ -3 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 1}[/mm]
>
> habe nun diese matrix umgeformt und kriege raus:
> [mm]A=\pmat{ 1 & 5 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
nicht ganz, ich erhalte 2 Nullzeilen, dein Eintrag [mm] $a_{33}=8$ [/mm] ist bei mir eine 0 ...
Damit ist dann auch die Dimension des Bildes und die Basis falsch ...
(beim Kern stimmt's komischerweise wieder, da ist also einiges im Argen)
>
> rg=3=dim(Bild(T)) und somit ist dim(Kern)=1.
Hier müssten aber bei dir alle Alarmglocken klingeln und Lämpchen blinken.
Wie kann das sein? Nach dem Dimensionssatz ist [mm] $dim(Bild(T))+dim(Kern(T))=dim(\IR^3)=3$, [/mm] aber [mm] $3+1=4\neq [/mm] 3$
> als bild habe ich die 3 spalten genommen:
> Bild= [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 2 \\ 4 },\vektor{5 \\ -3 \\ 0 \\ 2 },\vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
Abgesehen davon, dass die Dimension nicht stimmt, ist doch das Bild ein Vektorraum und nicht bloß ein paar Vektoren.
Die (noch richtig zu wählenden) Spaltenvektoren bilden eine Basis des Bildes, ihr Spann ist das Bild, also [mm] $Bild(A)=spann(v_1,v_2)$ [/mm] mit noch zu bestimmenden [mm] $v_1, v_2$
[/mm]
>
> beim Kern hab ich [mm]x_{3}[/mm] frei gewählt
> ,also [mm]x_{3}=1[/mm]
Dann stünde in der 3.Zeile der Matrix in Zeilenstufenform $8=0$, also grober Unfug
Das wäre nicht lösbar, du müsstest mit der 8 doch sicher [mm] $x_3=0$ [/mm] wählen, damit du eine Lösung bekommst ...
Also hätte dir auch hier auffallen sollen, dass irgendwas nicht stimmt.
Aber mit dem richtigen Eintrag [mm] $a_{33}$ [/mm] (statt 8 eine 0) passt die Berechnung des Kernes wieder!
> [mm]x_{2}=1/2 x_{1}=-1/2[/mm]
>
> [mm]Kern(T)=\vektor{-1/2 \\ 1/2 \\ 1 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist wieder eine Basis des Kernes, der Kern ist Spann davon, also die Menge aller Linearkombinationen:
$Kern(T)=spann\left(\vektor{-1/2 \\ 1/2 \\ 1 }\right)=\langle\vektor{-1/2 \\ 1/2 \\ 1 }\rangle}$ oder welche Schreibweise auch immer ihr benutzt für den Spann
>
> richtig??wenn nicht,was hab ich falsch gemacht?
> danke
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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Hallo!
danke zuerst mal
mir ist mein dummer fehler auch aufgefallen:)
ich werd es jetzt korrigieren.
aber eine frage hätte ich noch:
zum Bild. mir wurde einmal hier gesagt,dass ich als Bild die ursprünglichen Splatenvektoren angeben soll. laut deiner aussage schätze ich mal,dass du die Basis,also die reduzierten splatenvektoren angeben soll.
was stimmt nun?
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ok,danke :)
dann habe ich was falsch verstanden!!
merci
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welche spalte hol ich als basis des bildes??damit habe ich so viele probleme.
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Hallo nochmal,
> welche spalte hol ich als basis des bildes??damit habe ich
> so viele probleme.
Na, die berechnete Dimension des Bildes ist 2, es wird also von 2 (linear unabh.) Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix aufgespannt.
Suche dir also aus den drei Spaltenvektoren 2 aus, die linear unabh. sind ...
LG
schachuzipus
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alles klar,danke!!und jetzt nerv ich nicht mehr:)
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ich komme nicht auf die eliminierte matrix ,die du hast:
II+2I
III-2I
IV-4I
[mm] \pmat{ 1 & 5 & -2 \\ 0 & 12 & -6 \\ 0 & -10 & 3 \\ 0 & -18 & 9 }
[/mm]
reduzieren:
[mm] \pmat{ 1 & 5 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -10 & 3 \\ 0 & -2 & 1 }
[/mm]
IV + II
[mm] \pmat{ 1 & 5 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
so und nun? wie kriegst du die dritte zeile noch weg?
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Hallo nochmal,
zunächst mal stelle Fragen bitte auch als Fragen, nicht als Mitteilungen!
> ich komme nicht auf die eliminierte matrix ,die du hast:
> II+2I
[mm] II+\red{3}I
[/mm]
> III-2I
> IV-4I
> [mm] $\pmat{ 1 & 5 & -2 \\ 0 & 12 & -6 \\ 0 & -10 & \red{3} \\ 0 & -18 & 9 }$
[/mm]
Diese rote 3 ist falsch, da steht doch [mm] $1-2\cdot{}(-2)=1+4=5$
[/mm]
Dann alle Zeilen außer der ersten jeweils durch den Eintrag in der letzten Spalte teilen und du siehst es schon ...
>
> reduzieren:
> [mm]\pmat{ 1 & 5 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -10 & 3 \\ 0 & -2 & 1 }[/mm]
>
> IV + II
> [mm]\pmat{ 1 & 5 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> so und nun? wie kriegst du die dritte zeile noch weg?
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | Aufgabe
Sei $ [mm] T:\IR^{4}\to\IR^{3} [/mm] $ definiert durch $ [mm] x\mapsto T(x):=\vektor{2x_{2} \\ -3x_{1}+3x_{4} \\ 2x_{1} + x_{2} -2x_{4}}. [/mm] $
Berechnen Sie dim(Kern(T)) und dim(Bild(T)) und bestimmen Sie eine Basis von Kern(T) |
dimV=4
A=$ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -2} [/mm] $
reduziert:
A=$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] $
rgA=2=dimBild
demnach ist dimKern=2
als BILD hab ich genommen:
[mm] \{\vektor{0 \\ 3 \\ -2},\vektor{2 \\ 0 \\ 1}\}
[/mm]
die Basis des Kerns zu bestimmen krieg ich nicht so hin.
wie muss ich da vorgehen,wenn die dimKern=2 sein muss
ein freund von mir meinte,dass der Kern nach der dimensionsformel zwar dim=2 hat,aber nur einen Vektor als Basis hat...schwachsinn...
ich hoffe es kann mir jemand helfen...danke schonmal im vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Do 02.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst doch nur das homogene GlS loesen. und weisst schon dass du 2 der [mm] x_i [/mm] frei waehlen kannst. z.bsp x1=1 x2=0 und umgekehrt. oder allgemein x1=s x2=t
Gruss leduart
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die aufgabenstellung ist aber eine basis des kerns zu bestimmen.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo imbroken,
> die aufgabenstellung ist aber eine basis des kerns zu
> bestimmen.
Ja, nun ... 
Aus der obigen "reduzierten" Matrix kannst du das doch geschwind machen
Du hattest $A=\pmat{0&1&0&0\\1&0&0&-1\\0&0&0&0\$
Da steht doch nun nix anderes als das LGS
$1\cdot{}x_2=0$
$1\cdot{}x_1+0\cdot{}x_2+0\cdot{}x_3-1\cdot{}x_4=0$
$0=0$
In der 2.Gleichung steht $x_1=x_4$, setze also $x_4=t, t\in\IR$, dann ist $x_1=....$
Setze weiter $x_3=s, s\in\IR$, das kannst du ja beliebig setzen, denn $0\cdot{}x_3$ bleibt 0
Jetzt schreibe dir einen allg. Lösungsvektor hin, dann siehst du auch, wie eine Basis aussieht ...
LG
schachuzipus
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oh mann...is ok:) danke!!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
