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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Do 18.11.2004 | | Autor: | beni |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo,
habe hier ein bsp und kann einen punkt nicht lösen, weil mir der begriff des bildes fehlt (Lehrbücher, Skripten, google hab ich nichts gefunden...)
konkret geht es um eine transformation eines vektors und eine frage lautet:
P: [mm] \vec{x} \to \vec{x}'
[/mm]
Zeigen Sie, dass nicht jeder vektor als Bild unter P erscheint.
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Do 18.11.2004 | | Autor: | beni |
Danke zuerst mal, der begriff des bildes von funktionen ist klar, aber wie setz ich das dann auf vektoren um? bzw wie geh ich dann das Bsp an?
die konkreten angaben lauten:
[mm] a,b\in\IR, a^{2}+b^{2}=1 [/mm] und [mm] P:\vec{x}\to\vec{x}' [/mm] sei die durch [mm] \vec{x}'=(1-a^{2})x-aby, y'=-abx+(1-b^{2})y [/mm] bestimmte Transformation auf [mm] \IR^{2}. [/mm] Zeigen Sie:
a)mehrmalige Anwendung der Transformation liefert dasselbe wie einmalige anwendung
b)nicht jeder vektor erscheint als Bild unter P
c)alle vektoren der form [mm] \lambda\vektor{b\\-a} \lambda\in\IR [/mm] bleiben unter P ungeändert
d)alle vektoren der Form [mm] \lambda\vektor{a\\b} \lambda\in\IR [/mm] haben dasselbe Bild 0
Wie ist die Transformation geometrisch zu deuten?
tja,
a) ist klar (Stimmt),
b) ???????
c) stimmt
d) stimmt
es wird eine gerade mit steigung -a/b (wenn ich mich nicht irre)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Fr 19.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Tach beni!
Da du bei a),c)und d) bescheit weist eine Idee für b)
ich setze für
[mm] a=sin(\alpha) [/mm] und
[mm] b=cos(\alpha)
[/mm]
dann ist deine Gleichung
[mm] a^{2}+b^{2}=sin^{2}(\alpha)+cos^{2}(\alpha) [/mm] erfüllt für alle [mm] \alpha\in [0,2\pi]
[/mm]
damit ergeben sich für:
[mm] x'=(1-sin^{2}(\alpha))x-sin(\alpha)cos(\alpha)y
[/mm]
[mm] y'=(1-cos^{2}(\alpha))y-sin(\alpha)cos(\alpha)x
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
*
[mm] x'=(xcos(\alpha)-ysin(\alpha))cos(\alpha)
[/mm]
[mm] y'=(ysin(\alpha-xcos(\alpha))sin(\alpha)
[/mm]
*
[mm] \to
[/mm]
[mm] -1\le x'\le1 \forall\alpha \in [0,2\pi] \alpha\not=0,\pi,2\pi
[/mm]
[mm] -1\le y'\le1 \forall\alpha \in [0,2\pi] \alpha\not=\bruch{1}{2}\pi,\bruch{3}{2}\pi
[/mm]
sei also [mm] \alpha=0 [/mm] oder [mm] \alpha=2\pi
[/mm]
[mm] \to [/mm] x'>1 aber y'=0
sei nun [mm] \alpha=\pi
[/mm]
[mm] \to [/mm] x'<-1 aber y'=0
zu guter letzt sei [mm] \alpha=\bruch{1}{2}\pi [/mm] oder [mm] \alpha=\bruch{3}{2}\pi
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
y'>1 aber x'=0
bzw.
y'<-1 aber x'=0
was uns schließlich dazu führt behaupten zu dürfen, das z.B. der Vektor v mit:
[mm] v=(x_{1},y_{1})=(5,9)
[/mm]
nicht in der Menge der Bilder von [mm] \cal{P} [/mm] liegt.
zwischen den Sternen müßt du selbst noch ein wenig umformen
TIP: nutze den trigonometrischen Pythagoras
MfG zwerg
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