Bild beweisen, Komposition < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Fr 17.05.2013 | | Autor: | ne1 |
Hallo,
Gegeben $f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y$, $g: Y [mm] \rightarrow [/mm] Z$, $A [mm] \subseteq [/mm] X$. Beweise $(g [mm] \circ [/mm] f)[A] = g[f[A]]$.
$z [mm] \in [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f)[A] [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $(\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A) z = (g [mm] \circ [/mm] f)(x) [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $(\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A) z = g(f(x))$
[mm] $(\exists [/mm] y [mm] \in [/mm] f[A]) z = g(y) [mm] \Leftrightarrow$ [/mm]
$z [mm] \in [/mm] g[f[A]]$
Jetzt bin ich mir nicht ganz sicher ob ich da einfach ein [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] einsetzten darf oder ob ich das irgendwie noch begründen soll. Wenn ein $x$ existiert, so dass $g(f(x)) = z$, dann existiert auch ein $y$, so dass $g(y) = z$, deshalb ist [mm] $\Rightarrow$ [/mm] selbstverständlich.
Falls ein $y [mm] \in [/mm] f[A]$ existiert, so dass $g(y) = z$ dann wissen wir aus der Definition eines Bildes, dass auch ein $x$ existiert und $f(x) = y$. Wir haben also insgesamt ein $x$, do dass $g(f(x)) = z$, deshalb ein [mm] $\Leftarrow$.
[/mm]
Ist das richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Fr 17.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Gegeben [mm]f: X \rightarrow Y[/mm], [mm]g: Y \rightarrow Z[/mm], [mm]A \subseteq X[/mm].
> Beweise [mm](g \circ f)[A] = g[f[A]][/mm].
>
> [mm]z \in (g \circ f)[A] \Leftrightarrow[/mm]
> [mm](\exists x \in A) z = (g \circ f)(x) \Leftrightarrow[/mm]
>
> [mm](\exists x \in A) z = g(f(x))[/mm]
>
> [mm](\exists y \in f[A]) z = g(y) \Leftrightarrow[/mm]
> [mm]z \in g[f[A]][/mm]
>
> Jetzt bin ich mir nicht ganz sicher ob ich da einfach ein
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] einsetzten darf
wo denn?
> oder ob ich das irgendwie
> noch begründen soll. Wenn ein [mm]x[/mm] existiert, so dass [mm]g(f(x)) = z[/mm],
> dann existiert auch ein [mm]y[/mm], so dass [mm]g(y) = z[/mm],
Nämlich [mm] $y:=f(x)\,$ [/mm] tut's!
> deshalb ist
> [mm]\Rightarrow[/mm] selbstverständlich.
>
> Falls ein [mm]y \in f[A][/mm] existiert, so dass [mm]g(y) = z[/mm] dann
> wissen wir aus der Definition eines Bildes, dass auch ein [mm]x[/mm]
> existiert und [mm]f(x) = y[/mm]. Wir haben also insgesamt ein [mm]x[/mm], do
> dass [mm]g(f(x)) = z[/mm], deshalb ein [mm]\Leftarrow[/mm].
>
> Ist das richtig?
Sieht doch gut aus. Wenn Du es ganz sauber haben willst, dann mache
es doch mit $A=B [mm] \iff [/mm] (A [mm] \subseteq [/mm] B) [mm] \text{ und }(B \subseteq [/mm] A)$ (d.h. zeige die beiden
Teilmengenbeziehungen rechterhand, mit [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] folgt dann die
Gleichheit der Mengen):
1. Zu zeigen: [mm] $(g\circ [/mm] f)[A] [mm] \subseteq g[f[A]]\,.$
[/mm]
Ist $z [mm] \in [/mm] (g [mm] \circ f)[A]\,,$ [/mm] so gibt es ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit $(g [mm] \circ f)(x)=g(f(x))=z\,.$ [/mm] Mit $y:=f(x) [mm] \in [/mm] f[A]$
folgt $z=(g [mm] \circ [/mm] f)(x)=...=g(y) [mm] \in g[f[A]]\,.$
[/mm]
2. Zu zeigen: $g[f[A]] [mm] \subseteq (g\circ f)[A]\,.$
[/mm]
Ist $z [mm] \in g[f[A]]\,,$ [/mm] so gibt es ein $y [mm] \in [/mm] f[A]$ mit [mm] $g(y)=z\,.$ [/mm] Wegen $y [mm] \in [/mm] f[A]$ existiert
ein $x [mm] \in [/mm] A$ mit [mm] $y=f(x)\,.$ [/mm] Wegen $z=...=(g [mm] \circ [/mm] f)(x)$ ist daher $z [mm] \in [/mm] (g [mm] \circ f)[A]\,.$
[/mm]
Das ist eigentlich das, was Du auch gemacht hast, vielleicht bist Du von
einer saubereren Notation aber überzeugter?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Fr 17.05.2013 | | Autor: | ne1 |
Danke für die schnelle Antwort, Marcel :).
|
|
|
|
