Bild der Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Bei mir ist gerade eine kurze Frage aufgetaucht:
Ist das Bild der Basis unter einer linearen Abbildung wieder eine Basis? Ich bin der Meinung, dass dies so ist, kann dies aber nicht wirklich begründen. In meinem Buch steht allerdings ein Satz, wo das irgendwie anders zu sein scheint, oder ich habe da etwas falsch verstanden.
Könnte mir jemand diese kurze Frage beantworten? Und im Falle, dass ich falsch liege, bitte ein Gegenbeispiel geben.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Wenn die lineare Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] W$ injektiv ist, ist das Bild einer Basis linear unabhängig.
Wenn die lineare Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] W$ surjektiv ist, ist das Bild einer Basis ein Erzeugendensystem von $W$.
Wenn die lineare Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] W$ bijektiv ist, ist das Bild einer Basis eine Basis von $W$.
Es gelten sogar die Umkehrungen!
Gegenbeispiele für deine Behauptung:
$f : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^2 & \to & \IR^2 \\[5pt] \pmat{x_1 \\ x_2} & \mapsto & \pmat{ 0 \\ 0} \end{array}$
[/mm]
ist weder injektiv noch surjektiv. Die Bilder der Basis [mm] $\pmat{1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $\pmat{0 \\ 1}$ [/mm] sind beides Mal [mm] $\pmat{0 \\ 0}$. [/mm] Sie sind also weder linear unabhängig noch bilden sie ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
