Bild einer Abbildung bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich kann mittlerweile Span und Kern einer Abbildung bestimmen.
Leider kann kann ich mit der Suche nicht wirklich was finden Weshalb ich schlecht etwas finde? Weitere Infos hier
Ich habe auch versucht aus dem "vorwissen" schlau zu werden. Doch leider ist dort nicht mal eine Beispielaufgabe Wie_man_das_Bild_einer_linearen_Abbildung_bestimmt.
Deshalb bräuchte ich eine Beispielaufgabe um das zu verstehen.
Kann mir jemand eine geben oder meine evtl. vorrechnen?
[mm] $F:\IR^3 \to \IR^2$
[/mm]
[mm] $\vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x + z\\ 2x + 4y + 2z }$
[/mm]
Danke für die Hilfe!
Gruß Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Fr 15.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hast in deinem anderen Thread ja schon richtig heraus gefunden, dass:
$ [mm] \vektor{x + z\\ 2x + 4y + 2z }= s\cdot{}\vektor{1 \\ 2} [/mm] + [mm] t\cdot{}\vektor{0 \\ 4} [/mm] + [mm] u\cdot{}\vektor{1 \\ 2} [/mm] $
also ist : Bild(F)=Span( [mm] $\vektor{1 \\ 2},\vektor{0 \\ 4},\vektor{1 \\ 2}$ [/mm] )
du musst jetzt nur noch entscheiden, ob der gesamte [mm] $\IR^2$ [/mm] von diesen drei Vektoren erzeugt wird.
(also ob zwei der drei Vektoren linear unabhängig sind)
Wenn dies hier der Fall ist, ist Bild(F)= [mm] $\IR^2$ [/mm] , wenn nicht, reicht es ein minimales Erzeugendensystem (also eine Basis) des Bildes anzugeben.
viele Grüße
DaMenge
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Hi DaMenge,
danke für deine Schnelle Antwort
> du hast in deinem anderen Thread ja schon richtig heraus
> gefunden, dass:
> [mm]\vektor{x + z\\ 2x + 4y + 2z }= s\cdot{}\vektor{1 \\ 2} + t\cdot{}\vektor{0 \\ 4} + u\cdot{}\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> also ist : Bild(F)=Span( [mm]\vektor{1 \\ 2},\vektor{0 \\ 4},\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> )
Also ich würde sagen, dass [mm] $Span(\vektor{1 \\ 2},\vektor{0 \\ 4},\vektor{1 \\ 2})$ [/mm] keine Basis (minimales Erzeugendensystem ist, da der 1 und 3 Vektor gleich sind.
[mm] $Span(\vektor{1 \\ 2},\vektor{0 \\ 4})$
[/mm]
Wäre eine Basis.
Heißt das, dass [mm] $Span(\vektor{1 \\ 2},\vektor{0 \\ 4})=Bild(F)$ [/mm] ???
> du musst jetzt nur noch entscheiden, ob der gesamte [mm]\IR^2[/mm]
> von diesen drei Vektoren erzeugt wird.
> (also ob zwei der drei Vektoren linear unabhängig sind)
Ich habe die ganze Zeit überlegt, wie ich auf lineare Unabhängigkeit prüfen kann. Mir ist aber nur noch eingefallen, dass wenn man herausfinden möchte ob etwas linear unabhängig ist, dass man dann Prüft ob es linear abhängig ist. Stimmt das? Wenn ja wie prüft man das nochmal?
> Wenn dies hier der Fall ist, ist Bild(F)= [mm]\IR^2[/mm] , wenn
> nicht, reicht es ein minimales Erzeugendensystem (also eine
> Basis) des Bildes anzugeben.
>
> viele Grüße
> DaMenge
>
>
Gruß Thomas
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Hallo KnockDown!
> > du musst jetzt nur noch entscheiden, ob der gesamte [mm]\IR^2[/mm]
> > von diesen drei Vektoren erzeugt wird.
> > (also ob zwei der drei Vektoren linear unabhängig
> sind)
>
> Ich habe die ganze Zeit überlegt, wie ich auf lineare
> Unabhängigkeit prüfen kann. Mir ist aber nur noch
> eingefallen, dass wenn man herausfinden möchte ob etwas
> linear unabhängig ist, dass man dann Prüft ob es linear
> abhängig ist. Stimmt das? Wenn ja wie prüft man das
> nochmal?
Klar, stimmt das. Denn entweder sind zwei Vektoren linear abhänging oder sie sind linear unabhängig. Und wenn du das eine widerlegst, gilt natürlich das andere.
Du kannst entweder die Determinante berechnen: [mm] det(\pmat{1&0\\2&4}) [/mm] was in den meisten Fällen einfacher und schneller ist, oder du löst das lineare Gleichungssystem: [mm] r\vektor{1\\2}+s\vektor{0\\4}=0. [/mm] Wenn die Determinante [mm] \not=0 [/mm] ist, sind die Vektoren linear unabhängig, und wenn das LGS nur die Lösung r=s=0 hat, dann auch.
Viele Grüße
Bastiane
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