Bild eines Vektor und Urbild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Di 18.02.2014 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Eine lineare Abbildung f : [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] ist durch die Bilder der Elemente der Standardbasis definiert:
[mm] (1,0,0)^{T} \mapsto (1,0,-2)^{T}
[/mm]
[mm] (0,1,0)^{T} \mapsto (-5,1,7)^{T}
[/mm]
[mm] (0,0,1)^{T} \mapsto (1,0,-1)^{T}
[/mm]
a) Gesucht sind das Bild des Vektors [mm] (1,0,2)^{T} [/mm] und das Bild der Vektoren [mm] (a,b,c)^{T} [/mm] (a,b,c [mm] \in \IR) [/mm] bei der Abbildung f.
b) Finden Sie eine Matrix A, die diese lineare Abbildung durch f : x [mm] \mapto [/mm] Ax beschreibt.
c) Berechnen Sie das Urbild von [mm] (1,1,1)^{T} [/mm] bei f. |
Guten Tag,
a) wenn ich das richtig verstehe, wird [mm] (1,0,2)^{T} \mapsto (x_{1},x_{2},x_{3})^{T} [/mm] gesucht. Ich habe also eine Matrix aus den Bildern oben gebildet. A = [mm] \pmat{1&-5&1\\0&1&0\\-2&7&-1}. [/mm] Diese habe ich mit dem Vektor multipliziert. [mm] \pmat{1&-5&1\\0&1&0\\-2&7&-1} \vektor{1\\0\\2} [/mm] = [mm] \vektor{3\\0\\-4}
[/mm]
Das selbe habe ich für [mm] (a,b,c)^{T} [/mm] gemacht.
[mm] \pmat{1&-5&1\\0&1&0\\-2&7&-1} \vektor{a\\b\\c} [/mm] = [mm] \vektor{a-5b+c\\b\\-2a+7b-c}
[/mm]
Wie ich nun weiter machen soll weiß ich leider nicht.
b) sollte A = [mm] \pmat{1&-5&1\\0&1&0\\-2&7&-1} [/mm] sein, bin mir aber auch nicht sicher.
c) wenn es so funktioniert wie bei a) sollte es [mm] \pmat{1&-5&1\\0&1&0\\-2&7&-1} \vektor{1\\1\\1} [/mm] = [mm] \vektor{-3\\1\\4} [/mm] sein.
Ich hab leider keine Lösungen zu den Aufgaben, daher bin ich unsicher.
Danke im voraus,
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Di 18.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
a. und b. sind richtig.
Bei c. bestimmst du das Bild von [mm] (1,1,1)^T [/mm] unter f, gesucht ist aber vielmehr umgekehrt x, so dass [mm] f(x)=(1,1,1)^T [/mm] wird.
Beachte . $ A*x=y [mm] \gdw x=A^{-1}*y [/mm] $
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mi 19.02.2014 | | Autor: | Infoandi |
Hallo Sax,
danke für deine Antwort. Bei muss ich bei Aufgabe a) nicht noch weitermachen wenn [mm] \vektor{a-5b+c\\b\\-2a+7b-c} [/mm] habe ? Bzw. steht in der Aufgabe "das Bild der Vektoren [mm] (a,b,c)^{T} [/mm] " das hat mich auch verunsichert.
c) habe ich jetzt so gemacht, damit ich die inverse Matrix nicht brauche.
[mm] \pmat{1&-5&1\\0&1&0\\-2&7&-1}\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{1\\1\\1}. [/mm] Als Ergebnis habe ich da [mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{0\\1\\6} [/mm] raus
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Hallo Infoandi,
> Hallo Sax,
> danke für deine Antwort. Bei muss ich bei Aufgabe a)
> nicht noch weitermachen wenn [mm]\vektor{a-5b+c\\b\\-2a+7b-c}[/mm]
> habe ? Bzw. steht in der Aufgabe "das Bild der Vektoren
> [mm](a,b,c)^{T}[/mm] " das hat mich auch verunsichert.
>
Nein, das reicht völlig aus.
> c) habe ich jetzt so gemacht, damit ich die inverse Matrix
> nicht brauche.
>
> [mm]\pmat{1&-5&1\\0&1&0\\-2&7&-1}\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{1\\1\\1}.[/mm]
> Als Ergebnis habe ich da
> [mm]\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{0\\1\\6}[/mm] raus
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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