Bild eines Vektors bestimmen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Mi 09.12.2009 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | Es sei V im [mm] R^3 [/mm] der von den Vektoren [mm] v_1= [/mm] (1,2,2) und [mm] v_2=(1,-2,2) [/mm] aufgespannte lineare Unterraum.
a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis [mm] u_1, u_2 [/mm] für V
b) Ergänzen Sie [mm] u_1, u_2 [/mm] zu einer Orthonormalbasis [mm] u_1,u_2,u_3 [/mm] des [mm] R^3
[/mm]
c) Bestimmen Sie das Bild S(x) des Vektors [mm] x=(x_1,x_2,x_3) [/mm] unter der Spiegelung an V. |
Hallo!
Ich habe Probleme bei Frage c). a) und b) kann ich lösen. Meine Ergebnisse werde ich gleich reinstellen. Aber bei c) weiß ich nicht was ich machen muss, kann mir jemand helfen?
MfG,
Pestaiia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 09.12.2009 | | Autor: | pestaiia |
zu a)
[mm] u_1= [/mm] (1/3,2/3,2/3)
[mm] u_2=\wurzel{5}/3 [/mm] (2,-5,4)
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> Es sei V im [mm]R^3[/mm] der von den Vektoren [mm]v_1=[/mm] (1,2,2) und
> [mm]v_2=(1,-2,2)[/mm] aufgespannte lineare Unterraum.
> a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis [mm]u_1, u_2[/mm] für V
> b) Ergänzen Sie [mm]u_1, u_2[/mm] zu einer Orthonormalbasis
> [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] des [mm]R^3[/mm]
> c) Bestimmen Sie das Bild S(x) des Vektors [mm]x=(x_1,x_2,x_3)[/mm]
> unter der Spiegelung an V.
> Hallo!
> Ich habe Probleme bei Frage c). a) und b) kann ich lösen.
> Meine Ergebnisse werde ich gleich reinstellen. Aber bei c)
> weiß ich nicht was ich machen muss, kann mir jemand
> helfen?
Hallo,
mal Dir erstmal auf, wie eine Spiegelung funktioniert.
Salopp gesagt: der zur Speigelchse bzw. -ebene senkrechte Anteil "klappt um".
Damit ist klar, was zu tun ist: zerlege x in [mm] x=av_1+bv_2+cu_3 [/mm] oder [mm] x=a'u_1+b'u_2+c'u_3.
[/mm]
Der gespiegelte Vektor ist dann [mm] x'=av_1+bv_2-cu_3 [/mm] bzw. [mm] x'=a'u_1+b'u_2-c'u_3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mi 09.12.2009 | | Autor: | pestaiia |
Hallo Angela,
Tut mir leid, das hilft mir leider nicht sehr viel weiter. Ich weiß trotzdem nicht was ich rechnen soll.
also V ist eine Ebene an der ich den Vektor x spiegele. Weil ich x nicht kenne benutze ich die Orthonormalbasis. Was genau ist ein Bild?
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> Hallo Angela,
> Tut mir leid, das hilft mir leider nicht sehr viel weiter.
> Ich weiß trotzdem nicht was ich rechnen soll.
> also V ist eine Ebene an der ich den Vektor x spiegele.
> Weil ich x nicht kenne benutze ich die Orthonormalbasis.
Hallo,
nein. Diese spezielle Basis verwendet man mit Gewinn, weil sie so gut zu der Geometrie der Abbildung paßt.
Wie gesagt: bei der Spiegelung passiert, daß die Komponente, die senkrecht ist zur Spiegelebene, umklappt. Das sollte Dir ja spätestens an eienr Skizze klargeworden sein.
> Was genau ist ein Bild?
Das Bild von x?
Na, der Vektor x', auf welchen x durch die Spiegelung abgebildet wird.
Es war gegeben [mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3 [/mm] mit [mm] e_i [/mm] Standardeinheitsvektoren.
Die [mm] e_i [/mm] kannst Du in der neuen Basis schreiben, und damit hast Du dann auch x als Linearkombination der Elemente der neuen Basis.
Schneller bist Du, wenn Du aus [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=a_1v_1 +a_2v_2+a_3u_3 [/mm] die passenden [mm] a_i [/mm] berechnest. natürlich hängen die von den [mm] x_i [/mm] ab.
Wie#s dann weitergeht, hab' ich ja schon gesagt.
Ich weiß halt nicht genau, was Du kannst...
Die darstellende Matrix der Spiegelung bzgl Deiner neuen Basis [mm] (u_1, u_2, u_3) [/mm] ist einfach aufzustellen, durch Multiplikation mit den passenden Transformationsmatrizen bekommst Du die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis, mit welcher Du dann x einfach multiplizieren kannst.
Oder Du arbeitest, falls das dran war, gleich mit der Householdermatrix H= [mm] E_3 [/mm] - [mm] \frac [/mm] {2} [mm] {u_{3}^{T} u_3} u_3 u_{3}^{T}. [/mm]
Mein Vorschlag von oben ist etwas selbstgebackener, ich weiß ja nicht, was Ihr so treibt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Mi 09.12.2009 | | Autor: | pestaiia |
zu c)
für [mm] u_3 [/mm] bekomme ich [mm] (-2\wurzel{5}, [/mm] 0, [mm] \wurzel{5})
[/mm]
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