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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 So 21.12.2014 | | Autor: | Nyuu |
| Aufgabe | Korrolar 3. Sei dim V = dim W [mm] <\infty [/mm] und [mm] F:V\to [/mm] W linear. Dann sind folgende Bedingungen gleichwertig:
i) F injektiv
ii) F surjektiv
iii) F bijektiv |
Mir ist das Korrolar noch nicht so ganz klar. Dies sind folgerungen aus der Dimensionsformel:
dim V = dim Im F + dim Ker F
Der Zusammenhang ist klar, alles was im Kern zur 0 wird, geht im Bild verloren.
Nun weiß ich auch, dass F injektiv [mm] \Leftrightarrow [/mm] Ker F = {0}
Es gilt also i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii).
Sei also F injektiv. Dann ist Ker F = {0}.
Damit ergibt sich dann dim V = dim Im F + 0.
Aber wieso kann ich dann von der dimension des Bildes auf die Surjektivität schließen.
Surjektivität heißt ja nichts anderes als F(V) = W.
Wegen: dim V = dim Im F = dim W, gilt ja dass beide Vektorräume V und W, die gleiche Basislänge haben. Nichts anderes sagt mir ja die dimension.
Also spannen beide den gleichen raum auf, also intuitiv ist das schon klar aber muss man nicht genauer begründen warum man von der Dimension auf die Surjektivität schließen kann. Irgendwie wird mir nicht ganz klar warum das einfach so machbar ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 So 21.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
Du hast dim W=dim Im F und ferner [mm] $\mathrm{Im} \,F\subset [/mm] W$, daraus folgt Im F=W mit dem Basisergänzungssatz.
Liebe Grüße
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