Bild (und Kern) einer Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mi 30.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich tue mich schwer bezüglich des Vorgehens, wie man das Bild und oder die Basis des Bildes einer Matrix A bestimmt.
Offenbar - nachdem was ich bis jetzt gelesen habe - kann man das Bild auf zwei Arten bestimmen:
Natürlich kann man das Bild (und nicht die Basis des Bildes) ganz einfach durch alle Spalten der Matrix ausdrücken. Ich werde im weiteren jetzt von der Basis des Bildes sprechen:
1.) Man macht an der Matrix Spaltenumformungen, und pickt die Linear Unabhängigen heraus, sodass man die Basis des Bildes erhält.
2.) Man transponiert die Matrix A, macht Zeilenumformungen bzw. wendet den Gauss Algorithmus an, und schreibt die Linear Unabhängigen Zeilen als Span der Basis des Bildes.
Punkt 1.) und 2.) sind im Prinzip das gleiche, das ist mir klar.
Was mir allerdings nicht einleuchten will: Wieso muss die Matrix überhaupt transponiert werden?
Sei A z.B. = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 }
[/mm]
Das Bild ist Span A = [mm] \{ \vektor{1 \\ 3 \\ 2}, \vektor{2 \\ 4 \\ 1}, \vektor{5 \\ 2 \\ 3} \}
[/mm]
Will ich nun eine Basis des Bildes oder anders ausgedrückt aus dem Span A die Linear Unabhängigen Vektoren, die das Bild aufspannen, so muss ich doch Gauss auf die drei Vektoren im Span anweden, was das Gleiche wäre wie Gauss auf die (untransponierte) Matrix anzuwenden.
Also nach dem Gauss-Algorithmus sieht A so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & -13 \\ 0 & 0 & -7 + 13/2*3 }
[/mm]
Also wäre die/eine Basis des Bildes gleich
Span = [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{2 \\ -2 \\ 0}, \vektor{5 \\ -13 \\ -7 + 13/2*3} \}
[/mm]
Das ist aber FALSCH! Meine Frage: Wieso ist das Falsch??? Wieso muss man die Matrix zuerst transponieren? Ich sehe den Sinn nicht!!!
Danke.
Gruss
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Das Transponieren ist nicht wichtig. Wichtig ist am Ende, dass du weißt in wo eventuell eine Nullzeile oder Nullspalte entsteht. Mit diesem Wissen gewappnet kannst du die restlichen Zeilen/spalten in der ursprünglichen Matrix als eine Basis für den Bildraum nehmen.
In deinem Beispiel kommst du ja bis auf
[mm] $\to \ldots \to 1_n$ [/mm] (red Zstf. ist es die Einheitsmatrix)
Nach dem Gaußalgorithmus (bis red Zstf) weißt du, dass deine Matrix keinen Kern (keine Nullzeile) hat. Die Matrix hat also vollen Rang.
Damit stehen in den Spalten eine Basis des Bildraumes.
allgemeines Schema:
- Matrix A nehmen
- Gaußalgorithmus bis red Zstf. =: B
- Zeile in B mit fehlenden führenden Einsen suchen. An den Platz der fehlenden führenden Eins eine -1 setzen. Die zugehörige Spalten ist ein Basisisvektor vom Kern.
- übrigen nicht betrachteten Spalten (da wo eine führende Eins vorhanden ist) suchst du wieder in A. Da stehen Vektoren für die Basis des Bildraums.
Wichtig ist, dass du die eine Basis des Kerns in der Matrix der red Zstf suchst. Und die Basis des Bildraumes in der ursprünglichen Matrix.
Habe die basis geschrieben obwohl es mehrere gibt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin,
die Spalten der Darstellungsmatrix $\ A $ erzeugen einen Untervektorraum des Zielbereichs. Dieser ist per Definition gerade das Bild der lin. Abbildung $\ \varphi$
Also $\ \operatorname{im}\varphi := \operatorname{span}(s_1,\cdots,s_n)$ wobei mit $\ s_1, \cdots, s_n $ die Spalten der Darstellungsmatrix gemeint sind.
$\ \varphi : \IK^n \to \IK^m, \ A = \pmat{ a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \underbrace{a_{m1}}_{s_1} & \ldots & \underbrace{a_{mn}}_{s_n} } $
Also $\ \operatorname{im}\varphi := \operatorname{span}\left(\vektor{a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1}},...,\vektor{a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn}}\right) = \operatorname{span}\left((a_{11},\cdots,a_{1n})^T, ... , (a_{m1},\cdots,a_{mn})^T}\right) $
Nun ist eine Basis ein maximal linear unabhängiges Erzeugendensystem. Durch das Anwenden des Gauß-Algorithmus' auf die Spalten (deswegen das Transponieren) reduzierst du das Erzeugendensystem $\ \operatorname{im}\varphi $ auf seine linear unabhängigen Vektoren (= Spalten von $\ A $) und erhältst so deine Basis.
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mi 30.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich danke euch. Beide Artikel helfen mir echt weiter!
Schönen Abend
Gruss Qsxqsx...
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