Bild und Lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Do 04.12.2008 | | Autor: | rafael |
| Aufgabe | Zeigen Sie dass das Bild von [mm] \delta [/mm] wieder in [mm] \IRn[x] [/mm] liegt und zeigen sie, dass
[mm] \delta [/mm] : [mm] \IRn[x]\to \IRn[x] [/mm] eine lineare Abbildung ist. |
Die Abbildung ist [mm] \delta:Rn[x]\to [/mm] Rn[x] [mm] p\mapsto \delta [/mm] p
mit [mm] (\delta [/mm] p)(x) := p(x+1) - p(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] definiert.
Also ich bin drauf gekommen das ich zeigen muss, dass p(x+1)-p(x) wieder ein Polynom ist.
Das Problem ist nur, dass ich nicht wirklich weiß, wie ich zeige wie ein Polynom wieder ein Polynom wird. Ich wüsste nun gerne einen Ansatz wie ich dies zeigen könnte.
Die lineare Abbildung bestimme ich doch wie gewohnt in dem ich zeige, dass
f(x) + f(y) = f(x+y) und [mm] \alpha [/mm] f(x) = [mm] f(\alpha [/mm] x) ist oder ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Do 04.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Was genau ist hier eigentlich dein Polynomring? [mm] $\IR^n[x]$, [/mm] oder [mm] $\IR[x]$ [/mm] oder wie?!? Ersteres macht nämlich erstmal keinen Sinn, da [mm] $\IR^n$ [/mm] kein Ring ist.
> Also ich bin drauf gekommen das ich zeigen muss, dass
> p(x+1)-p(x) wieder ein Polynom ist.
Ja das ist wichtig, sonst wäre die Abbildung [mm] $\delta$ [/mm] nicht wohldefiniert.
> Das Problem ist nur, dass ich nicht wirklich weiß, wie ich
> zeige wie ein Polynom wieder ein Polynom wird. Ich wüsste
> nun gerne einen Ansatz wie ich dies zeigen könnte.
Nun, ist $p$ ein Polynom, also [mm] $p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k$ [/mm] für geeignete [mm]a_k\in R[/mm] und [mm] $n\in\IN$. [/mm] Dann ist [mm] $p(x+1)=\sum_{k=0}^n a_k(x+1)^k$ [/mm] natürlich auch ein Polynom (da die [mm] $(x+1)^k$ [/mm] Polynome sind...), also ist auch $p(1+x)-p(x)$ ein Polynom.
> Die lineare Abbildung bestimme ich doch wie gewohnt in dem
> ich zeige, dass
> f(x) + f(y) = f(x+y) und [mm]\alpha[/mm] f(x) = [mm]f(\alpha[/mm] x) ist
> oder ?
Richtig.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Achtzig |
alles klar danke
|
|
|
|
