Bild vom Kern < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
weiß hier jemand, was das Bild vom Kern ist und was ich bei einer linearen Abbildung machen muss, wenn das Bild vom Kern gefordert wird? :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Do 22.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Mhh ich habe bischen Probleme mit der Formulierung deiner Frage, aber vllt hilft folgendes:
Zitat Wikipedia:
Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das Bild und der Kern einer linearen Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W. Das Bild der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus W, die f tatsächlich annimmt. Sie bilden einen Untervektorraum von W. Der Kern der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus V, die durch f auf den Nullvektor von W abgebildet werden. Sie bilden einen Untervektorraum von V.
Bild und Kern stehen über die Dimensionsformel in Bezug:
[mm] \dim \IR^n [/mm] = [mm] \dim \mathrm{Kern} [/mm] + [mm] \dim \mathrm{Bild}
[/mm]
dim Bild ist nichts anderes als die Zahl lin. unabhängiger Zeilen (entspricht auch dem Rang einer Matrix)
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Ich habe dazu folgendes aufgeschrieben:
[mm] \varphi (\lambda [/mm] x+y)= [mm] \lambda \varphi(x)+ \varphi [/mm] (y)
Das erinnert mich ein wenig an die Formeln zur Bestimmung einer linearen Abbildung, aber die Formeln lauten ja anders. Wir haben uns nicht eingehend mit der Formel beschäftigt, aber ich würde gerne wissen, was der Sinn daran ist und wie ich da rechnen soll.
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> Ich habe dazu folgendes aufgeschrieben:
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> [mm]\varphi (\lambda[/mm] x+y)= [mm]\lambda \varphi(x)+ \varphi[/mm] (y)
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> Das erinnert mich ein wenig an die Formeln zur Bestimmung
> einer linearen Abbildung, aber die Formeln lauten ja
> anders. Wir haben uns nicht eingehend mit der Formel
> beschäftigt, aber ich würde gerne wissen, was der Sinn
> daran ist und wie ich da rechnen soll.
Die Formel, die du da angegeben hast, ist auch die Formel für lineare Abbildungen, nur dass du hier quasi beide Bedingungen in eine Formel gepackt hast, soweit ich das richtig sehe.
Was deine Frage betrifft, so muss ich mich meinem Vorredner anschließen. Ich weiß nicht so genau was du meinst. Vielleicht kannst du einmal eine konkrete Aufgabenstellung angeben.
Normalerweise gilt für den Kern doch [mm] f(v)=0 [/mm] und alle v, die diese Bedingung erfüllen, liegen im Kern(f).
Wenn du also das Bild des Kerns betrachtest, dann hast du doch wieder f(v) und das ist eben null.
Wie gesagt, ich weiß nicht, ob das die Antwort ist, die du dir erhofft hast.
Wenn nicht, dann frag einfach noch einmal genauer nach.
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Okay, ich versuche es nochmal.
Also erstmal kenne ich die Bedindungen um festzustellen, ob Vektoren linear sind so:
Erst einmal prüfen, ob Konstante drin sind, wenn ja, dann ist es schonmal nicht linear.
Dann:
[mm] \varphi(v_1+v_2))\varphi(v_1)+\varphi(v_2)
[/mm]
Ist das erfüllt, dann noch prüfen ob:
[mm] \varphi(\lambda*v_1)=\lambda\varphi(v_1) [/mm] (wobei das gar nicht richtig sein kann.. kann mich jmd korrigieren bitte?)
Wobei ich mir hier immer schwer tu, weil ich nicht weiß, Wie ich wo was einsetzen soll. Bei mir kommt meistens heraus, dass die Bedingung erfüllt ist, weil ich auf beiden Seiten das gleiche mache :(
Es scheint mir gerade auch sehr etwas damit zu tun zu haben, was ich mir zu Unterräumen uafgeschrieben habe:
Unterräume sind gegeben, wenn die Gleichung
a) linear ist
b) homogen
c) der Nullvektor enthalten ist
(dann noch Abgeschlossenheit bezügl Addition oder Multiplikation zeigen (wobei ich mich frage, muss ich das immer?)
Hier ein Beispiel, das alle Fragen quasi nochmal vereint/vertieft:
[mm] \varphi\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
1) Die Abbildung sei linear (warum?)
2) Der Kern von [mm] \varphi [/mm] sei:
Kern [mm] \varphi=(0,0,z)^t [/mm] (Hier wurde offenbar der zweite Vektor = 0 gesetzt, wieso mache ich das?)
3) Das Bild von [mm] \varphi=(x,y,0)^t [/mm] Warum? Und geht das immer so "einfach"?
Und dann frage ich mich zum Abschluss dazu: Was bedeutet das?:
dim V=dim(Bild [mm] \varphi)+dim(Kern \varphi) [/mm] Wobei hilft mir dieser Satz etwas?
Lieben Dank!
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> Okay, ich versuche es nochmal.
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> Also erstmal kenne ich die Bedindungen um festzustellen, ob
> Vektoren linear sind so:
>
> Erst einmal prüfen, ob Konstante drin sind, wenn ja, dann
> ist es schonmal nicht linear.
Wie meinst du das? Die Linearität bedeutet doch, dass du Konstante quasi aus der Abbildungsvorschrift herausziehem kannst.
>
> Dann:
> [mm]\varphi(v_1+v_2))\varphi(v_1)+\varphi(v_2)[/mm]
Hier fehlt ein = oder?
>
> Ist das erfüllt, dann noch prüfen ob:
>
> [mm]\varphi(\lambda*v_1)=\lambda\varphi(v_1)[/mm] (wobei das gar
> nicht richtig sein kann.. kann mich jmd korrigieren
> bitte?)
Also Linearität bedeutet immer, dass du "Dinge" quasi auseinanderziehen kannst. Sei f also eine lineare Abbildung (also ein Homomorphismus).
[mm] f:V\rightarrow V [/mm].
Seien [mm] v,v_1,v_2\in V[/mm].
Dann gilt (bzgl. der Linearität): [mm] f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)[/mm].
Außerdem gilt noch, dass du Konstante rausziehen kannst. Sei dazu [mm]
\lambda \in K [/mm]. Dann:
[mm] f(\lambda v)=\lambda f(v) [/mm].
Und wenn du beides zusammenpackst: [mm] f(\lambda v_1 + v_2)=\lambda f(v_1)+f(v_2) [/mm].
Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, dann ist f linear. Mehr brauchst du da nicht prüfen.
>
> Wobei ich mir hier immer schwer tu, weil ich nicht weiß,
> Wie ich wo was einsetzen soll. Bei mir kommt meistens
> heraus, dass die Bedingung erfüllt ist, weil ich auf beiden
> Seiten das gleiche mache :(
Um dir dabei weiterzuhelfen meinte ich, dass du eine konkrete Aufgabe angeben solltest.
> Es scheint mir gerade auch sehr etwas damit zu tun zu
> haben, was ich mir zu Unterräumen uafgeschrieben habe:
> Unterräume sind gegeben, wenn die Gleichung
> a) linear ist
> b) homogen
> c) der Nullvektor enthalten ist
> (dann noch Abgeschlossenheit bezügl Addition oder
> Multiplikation zeigen (wobei ich mich frage, muss ich das
> immer?)
Für Unterräume gilt:
(i) Sie enthalten den Nullvektor.
(ii) Abgeschlossenheit bzgl. der Addition.
(iii) Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmultiplikation.
Diese drei Sachen musst du immer überprüfen und nur wenn alle zutreffen handelt es sich um einen Unterraum.
>
> Hier ein Beispiel, das alle Fragen quasi nochmal
> vereint/vertieft:
>
> [mm]\varphi\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Ich glaube du hast hier einmal Klammern vergessen, oder? Die Abbildung bildet doch einen Vektor auf einen anderen ab. Dann musst du um den abzubildenden Vektor noch einmal extra Klammern setzen. Wähle am besten auch die Schreibweise, die ich unten benutzt habe. Die wirst du auch in entsprechender Literatur meistens finden.
>
> 1) Die Abbildung sei linear (warum?)
Dazu kannst du doch nun die Kriterien, die ich dir oben genannt habe prüfen. Ich schreibe das zunächst einmal etwas "mathematischer" auf.
Es gilt:
[mm] \varphi((x,y,z))=(x,y,0)[/mm].
Dazu müsste ich jetzt wissen, von welchen Vektorraum in welchen Vektorraum [mm] \varphi [/mm] konkret abbildet. Das hast du leider nicht angegeben. Ich denke jetzt einfach mal, dass gilt: [mm] \varphi:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}[/mm].
Jetzt überprüfe ich die erste Eigenschaft.
Seien [mm] (x_{1},y_{1},z_{1}) [/mm] und [mm] (x_{2},y_{2},z_{2})\in\mathbb{R}^{3}.
[/mm]
Dann gilt: [mm] \varphi((x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2}))=\varphi((x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}))=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},0)
[/mm]
[mm] =(x_{1},y_{1},0)+(x_{2},y_{2},0)=\varphi((x_{1},y_{1},z_{1}))+\varphi((x_{2},y_{2},z_{2})).
[/mm]
Damit ist die erste Bedingung doch schonmal erfüllt.
Jetzt zeig du doch mal, dass man Skalare rausziehen kann!
>
> 2) Der Kern von [mm]\varphi[/mm] sei:
>
> Kern [mm]\varphi=(0,0,z)^t[/mm] (Hier wurde offenbar der zweite
> Vektor = 0 gesetzt, wieso mache ich das?)
Für den Kern gilt [mm] \varphi ((x,y,z))=0[/mm]. Wann ist diese Bedingung denn nur erfüllt? Dann kannst du doch auch sagen, woraus der Kern besteht.
>
> 3) Das Bild von [mm]\varphi=(x,y,0)^t[/mm] Warum? Und geht das immer
> so "einfach"?
Gleiche Frage zurück an dich: Wie ist denn das Bild einer Abbildung definiert?
Und jetzt gucke dir doch mal die tolle Dimensionsformel an. Die kann dir bei sowas auch manchmal echt weiterhelfen.
>
> Und dann frage ich mich zum Abschluss dazu: Was bedeutet
> das?:
>
> dim V=dim(Bild [mm]\varphi)+dim(Kern \varphi)[/mm] Wobei hilft mir
> dieser Satz etwas?
Zu deinem Beispiel. Du hast doch dim V=3 und du weißt auch, dass dim Kern([mm]\varphi [/mm])=1. Das hast du doch eben ausgerechnet oder abgeschrieben. Dann weißt du sofort, dass dim Bild =2 sein muss.
>
> Lieben Dank!
>
Ich hoffe, ich konnte dir etwas Klarheit verschaffen. Versuch trotzdem bitte mal, die Fragen, die ich an dich zurückgestellt habe zu beantworten und hier zu posten. Dann sieht man, ob du nun den "vollen Durchblick" hast.
Grüße T_sleeper
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