Bildet geg. Menge Vektorraum ? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 So 02.12.2007 | | Autor: | ingrii |
| Aufgabe | Prüfen sie, welche der folgenden Mengen (mit d. jeweils angegeben Additionen und Multiplikationen mit Skalaren) Vektorräume bilden:
[mm] M_1:={f:\IR\to\IR|f(x):=a_1*2^x+a_2(x-1),\forall x\in \IR,a_1,a_2\in \IR}
[/mm]
[mm] (f+g)(x):=f(x)+g(x),x\in \IR\,f,g \in M_1
[/mm]
[mm] (\lambda*f)(x):= \lambda*f(x) \, x\in \IR, \lambda\in\IR, [/mm] f [mm] \in M_1
[/mm]
[mm] M_2:=f:\IR\to\IR|f(x):=1+a*sin(x), x\in\IR, a\in\IR
[/mm]
[mm] (f+g)(x):=f(x)+g(x),x\in \IR\,f,g \in M_2
[/mm]
[mm] (\lambda*f)(x):= \lambda*f(x) [/mm] , [mm] x\in \IR, \lambda\in\IR, [/mm] f [mm] \in M_2 [/mm] |
Habe zu dem Thema jetz das ganze WE Bücher gewälzt, habe jedoch nie exakte Äquivalenzen zu solchen Aufgaben gefunden, daher würde ich gerne wissen ob meine Vermutungen stimmen:
Ich würde jetzt zeigen dass die Abbildung gegen Addition und Skalarmultiplikation erfüllt ist und dann die Axiome der Addition und Multiplikation (jeweils 4) zeigen.
Ich komme somit bei M1 darauf, dass sie einen Vektorraum bildet.
Hingegen hat M2 für ein festes a keine Nullfunktion für die gilt f(x)=1+asin(x) = 0 [mm] \forall x\in\IR
[/mm]
Stimmt das so, oder sehe ich was falsch ? Dass ich die Richtigkeit der Axiome zeigen muss, weiss ich ja. Doch nur was ist z.B. bei [mm] M_1 [/mm] bzw. [mm] M_2 [/mm] das Nullelement(-funktion) bzw. inverse Element(Funktion)
Wenn ich das falsch sehe würde ich mich über Anreize zur richtigen Lösung freuen, da ich mich solangsam glaub ich geistig verknote.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=92014
,aber leider seit gestern 20:00 keine Antwort mehr erhalten.
MfG ingrii
|
|
| |
|
> Prüfen sie, welche der folgenden Mengen (mit d. jeweils
> angegeben Additionen und Multiplikationen mit Skalaren)
> Vektorräume bilden:
> [mm]M_1:=\{f:\IR\to\IR|f(x):=a_1*2^x+a_2(x-1),\forall x\in \IR,a_1,a_2\in \IR\}[/mm]
>
> [mm](f+g)(x):=f(x)+g(x),x\in \IR\,f,g \in M_1[/mm]
> [mm](\lambda*f)(x):= \lambda*f(x) \, x\in \IR, \lambda\in\IR,[/mm]
> f [mm]\in M_1[/mm]
>
> [mm]M_2:=\{f:\IR\to\IR|f(x):=1+a*sin(x), x\in\IR, a\in\IR\}[/mm]
>
> [mm](f+g)(x):=f(x)+g(x),x\in \IR\,f,g \in M_2[/mm]
> [mm](\lambda*f)(x):= \lambda*f(x)[/mm]
> , [mm]x\in \IR, \lambda\in\IR,[/mm] f [mm]\in M_2[/mm]
> Ich würde jetzt zeigen dass die Abbildung gegen Addition
> und Skalarmultiplikation erfüllt ist
Hallo,
was meinst Du mit "gegen... erfüllt"?
Ihr habt sicher in der Vorlesung gezeigt, daß die Abbildungen v. [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] zusammen mit den beiden in Deinen Aufgaben erklärten Verknüpfungen einen Vektorraum über [mm] \IR [/mm] bilden.
Die Mengen [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] sind Teilemengen dieses Raumes, und wenn Du zeigen willst, daß sie Vektorräume sind, brauchst Du nur zu zeigen, daß sie Unterräume des [mm] Abb(\IR, \IR) [/mm] sind.
Du mußt also nur die Unterraumkriterien nachweisen, also
1. nichtleer (bzw. Nullelement enthalten)
2. abgeschlossen bzgl +
3. abgeschlossen bzgl. der Multiplikation mit Skalaren.
> Ich komme somit bei M1 darauf, dass sie einen Vektorraum bildet.
Ja, wobei ich natürlich nicht sagen kann, ob Du es richtig gezeigt hast.
> Hingegen hat M2 für ein festes a keine Nullfunktion für die
> gilt f(x)=1+asin(x) = 0 [mm]\forall x\in\IR[/mm]
Die Nullfunktion ist nicht in [mm] M_2, [/mm] und deshalb ist das kein Vektorraum.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Mo 03.12.2007 | | Autor: | ingrii |
Danke dir vielmals, alles geklärt !
|
|
|
|
