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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Bildintervalle
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Bildintervalle: Korrektur/Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Fr 19.06.2009
Autor: Blub2009

Aufgabe
Bestimme (mit Begründung) das Bildintervall für

a) f[(-3,2]), [mm] f(x)=x^4-4x^2+2 [/mm] und

b) [mm] g([-\pi,\pi]), [/mm] g(x)=x-2cos(x)

Guten Tag ich habe diese Aufgabe versucht und frage mich jetzt ob meine Beweise richtig sind.

ZWS:

f(2)=2 f(-3)=-115 [mm] \Rightarrow [/mm] Funktion Stetig und hat eine Nullstelle, damit ist f(x)=0 in [-3,2]

a=-3 B=2

[mm] a_{1}=a, b_{1}=2 [/mm]

[mm] y_{1}=f(a_{1}+b_{1}/2)=(-115+2/2)=-56,5 [/mm]

[mm] y_{1}<0: [/mm] setze [mm] a_{2}=(a_{1}+b_{2}/2)=-0,5, b_{2}=b_{1} [/mm]

[mm] y_{2}=f(a_{2}+b_{2}/2)=1,46875 [/mm]

[mm] y_{2}>0 [/mm] setze [mm] a_{3}=a_{2}, b_{3}=(a_{2}+b_{2}/2)=0,75 [/mm]

[mm] \Rightarrow a_{1}\le a_{2} \le a_{3} \le...\le [/mm] b mon. wachsend

Jetzt frage ich mich noch ob ich Max. und Min. einfach durch Ableiten von f(x) bekomme, wenn ich dies dann 0 setzte und ich dann die x-Werte in die zweite Ableitung einsetze oder muss ich was beachten da ich die Funktion nur im Bildintervll betrachte?

        
Bezug
Bildintervalle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Fr 19.06.2009
Autor: ullim

Hi,

ich würde mir mal zuerst eine Zeichnung von der Funktion machen. Dann siehst Du, dass f(x) z.B. nicht monoton ist und man kann sich auch eine Vorstellung vom Bildbereich machen.

Ich leg mal ein Bild bei.

[a]f(x)


mfg ullim

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Bildintervalle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Fr 19.06.2009
Autor: abakus


> Bestimme (mit Begründung) das Bildintervall für
>  
> a) f[(-3,2]), [mm]f(x)=x^4-4x^2+2[/mm] und
>
> b) [mm]g([-\pi,\pi]),[/mm] g(x)=x-2cos(x)
>  Guten Tag ich habe diese Aufgabe versucht und frage mich
> jetzt ob meine Beweise richtig sind.

Hallo,
du benötigst folgende grundlegende Aussagen:
- lokale Maxima und Minima im gegebenen Intervall
- Funktionswerte in den Intervallgrenzen.
Aus beiden zusammengenommen findest du das globale Maximum und Minimum des Intervalls.
Hier gilt übrigens [mm] x^4-4x^2+2=(x^2-2)^2-2 [/mm] mit einem minimalen Wert -2 (der auch im angegebenen Intervall erreicht wird). Ein lokales Maximum gibt es an der Stelle x=0, der Funktionswert einer Intervallgrenze ist aber größer.
Gruß Abakus

>  
> ZWS:
>  
> f(2)=2 f(-3)=-115 [mm]\Rightarrow[/mm] Funktion Stetig und hat eine
> Nullstelle, damit ist f(x)=0 in [-3,2]
>  
> a=-3 B=2
>  
> [mm]a_{1}=a, b_{1}=2[/mm]
>  
> [mm]y_{1}=f(a_{1}+b_{1}/2)=(-115+2/2)=-56,5[/mm]
>  
> [mm]y_{1}<0:[/mm] setze [mm]a_{2}=(a_{1}+b_{2}/2)=-0,5, b_{2}=b_{1}[/mm]
>  
> [mm]y_{2}=f(a_{2}+b_{2}/2)=1,46875[/mm]
>  
> [mm]y_{2}>0[/mm] setze [mm]a_{3}=a_{2}, b_{3}=(a_{2}+b_{2}/2)=0,75[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow a_{1}\le a_{2} \le a_{3} \le...\le[/mm] b mon.
> wachsend
>  
> Jetzt frage ich mich noch ob ich Max. und Min. einfach
> durch Ableiten von f(x) bekomme, wenn ich dies dann 0
> setzte und ich dann die x-Werte in die zweite Ableitung
> einsetze oder muss ich was beachten da ich die Funktion nur
> im Bildintervll betrachte?


Bezug
                
Bezug
Bildintervalle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:47 Fr 19.06.2009
Autor: Blub2009

Danke für die Antwort das Hilft mir weiter

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