Bildmaß ist Maß Beweis < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise das Bildmaß ist ein Maß.
[mm] \mu_{f}(B)=\mu(f^{-1}(B)) [/mm] f.a. B [mm] \in \IB (\IB [/mm] ist sigma-Algebra auf [mm] \Omega')
[/mm]
und f ist [mm] \alpha [/mm] - [mm] \IB [/mm] messbar, und [mm] \mu [/mm] ist Maß auf [mm] \alpha (\alpha [/mm] sigma-Algebra auf [mm] \Omega [/mm] ) |
Hallo,
Ich muss die Additivität zeigen und dass [mm] \mu_{f}(\emptyset) [/mm] = 0.
Zweiteres ist klar, da [mm] f(\emptyset) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] gelten muss
Sei nun [mm] (B_{n}) [/mm] eine pw. disjunkte Folge in [mm] \IB. [/mm]
Das Problem was ich habe ist zu zeigen, dass [mm] (f^{-1}(B_{n})) [/mm] auch eine pw. disjunkte Folge in [mm] \alpha [/mm] ist. Habe zwar schon mehrfach gelesen, dass dies stimmt, aber komme einfach nicht darauf warum.
Es muss ja was mit der Messbarkeit von f zu tun haben, aber laut meiner Definition heißt die nur, dass [mm] f^{-1}(B) \in \alpha [/mm] für alle B [mm] \in \IB. [/mm] Wie kann ich daraus erkennen, dass [mm] (f^{-1}(B_{n})) [/mm] pw disjunkt sind? Oder ist das gar der falsche Ansatz?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Das Problem was ich habe ist zu zeigen, dass
> [mm](f^{-1}(B_{n}))[/mm] auch eine pw. disjunkte Folge in [mm]\alpha[/mm]
> ist. Habe zwar schon mehrfach gelesen, dass dies stimmt,
> aber komme einfach nicht darauf warum.
>
> Es muss ja was mit der Messbarkeit von f zu tun haben, aber
Nein, es folgt schon für jede Abbildung, dass Urbilder disjunkter Mengen disjunkt sein müssen:
Angenommen, die Urbilder der disjunkten Mengen [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] wären nicht disjunkt, dann existiert ein [mm] $x\in f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$, [/mm] also
[mm] $x\in f^{-1}(B_1)$ [/mm] und [mm] $x\in f^{-1}(B_2)$, [/mm] also [mm] $f(x)\in B_1$ [/mm] und [mm] $f(x)\in B_2$, [/mm] was der vorausgesetzen Disjunktheit von [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] widerspricht.
Viele Grüße,
Marc
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oha, die Frage gestellt zu haben ist ja (beinahe) peinlich.... :-/
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