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| Aufgabe | Bildungsgesetz (fn) und grenzwert der Zahlenfolge bestimmen:
[mm] \bruch{1}{2}, \bruch{2}{11}, \bruch{5}{26}, \bruch{10}{47}, \bruch{17}{74}, \bruch{26}{107} [/mm] |
Hey,
Wollte fragen op das folgende Ergebnis richtig wäre:
-Bildungsgesetz:
[mm] f(n)=\bruch{n^2 -n -1}{3n^2 -1}
[/mm]
-Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(n) = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Danke,
lG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Sa 15.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Bildungsgesetz (fn) und grenzwert der Zahlenfolge
> bestimmen:
> [mm]\bruch{1}{2}, \bruch{2}{11}, \bruch{5}{26}, \bruch{10}{47}, \bruch{17}{74}, \bruch{26}{107}[/mm]
>
> Hey,
>
> Wollte fragen op das folgende Ergebnis richtig wäre:
>
> -Bildungsgesetz:
> [mm]f(n)=\bruch{n^2 -n -1}{3n^2 -1}[/mm]
Bereits beim zweiten Folgenglied stimmt deine Formel nicht.
Die Zähler sind jeweils Nachfolger einer Quadratzahl. Die Nenner stimmen.
>
> -Grenzwert:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(n) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
Das ist richtig.
Gruß Abakus
>
> Danke,
> lG
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Hm, irgendwie leuchtet mir mein Fehler nicht ein..
Hier mein vorgehen für den Zähler:
Folge: 1 2 5 10 17 26
Abstand: 1 3 5 7 9
Abstand: 2 2 2 2
-> [mm] n^2
[/mm]
Hilfsfolge [mm] (n^2) [/mm] : 1 4 9 16 25 36
Folge - Hilfsfolge: 0 -2 -4 -6 -8 -10
ABstand: -2 -2 -2 -2 -2
-> -n
Hilfsfolge(-n) : -1 -2 -3 -4 -5 -6
Abstand: -1 -1 -1 -1 -1
-> -1
--> [mm] n^2 [/mm] -n -1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Sa 15.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hm, irgendwie leuchtet mir mein Fehler nicht ein..
> Hier mein vorgehen für den Zähler:
>
> Folge: 1 2 5 10 17 26
> Abstand: 1 3 5 7 9
> Abstand: 2 2 2 2
> -> [mm]n^2[/mm]
>
> Hilfsfolge [mm](n^2)[/mm] : 1 4 9 16 25 36
> Folge - Hilfsfolge: 0 -2 -4 -6 -8 -10
> ABstand: -2 -2 -2 -2 -2
> -> -n
Eben wegen dieser -2 als Abstand ist der lineare Term in f(n) gleich -2n und nicht -n. (Nur im quadratischen Term ist der Koeffizient die Hälfte der zweiten Differenzen.)
Gruß Sax.
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Ahja..Bekomme dann [mm] n^2 [/mm] -2n -2 raus, ist aber immer noch falsch! Ich blicke nicht durch wo mein Fehler ist
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 So 16.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
[mm] a_n:=\frac{(n-1)^2+1}{3n^2-1}
[/mm]
DieAcht
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hey
Wie kommst du auf die [mm] (n-1)^1 [/mm] + 1 ?
Ich komm da nicht drauf, so wie ich oben mein Lösungsweg geschrieben habe...
lG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Mo 17.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> hey
>
> Wie kommst du auf die [mm](n-1)^1[/mm] + 1 ?
Das ist auch falsch!
[mm] a_n:=\frac{(n-1)^2+1}{3n^2-1}
[/mm]
> Ich komm da nicht drauf, so wie ich oben mein Lösungsweg geschrieben habe...
Deinen Fehler dazu hat die Sax schon hier berichtigt.
Den Zähler habe ich wie folgt erhalten:
[mm] $0^2=0$
[/mm]
[mm] $1^2=1$
[/mm]
[mm] $2^2=4$
[/mm]
[mm] $3^2=9$
[/mm]
[mm] $4^2=16$
[/mm]
[mm] $5^2=25$
[/mm]
...
Jetzt addieren wir eine Eins dazu:
[mm] $0^2+1=1$
[/mm]
[mm] $1^2+1=2$
[/mm]
[mm] $2^2+1=5$
[/mm]
[mm] $3^2+1=10$
[/mm]
[mm] $4^2+1=17$
[/mm]
[mm] $5^2+1=26$
[/mm]
...
Hier fängt aber unsere Folge bei $n=0$ an, aber es ist immer
schöner wenn eine Folge bei $n=1$ anfängt, deshalb folgendes:
[mm] $(1-1)^2+1=1$
[/mm]
[mm] $(2-1)^2+1=2$
[/mm]
[mm] $(3-1)^2+1=5$
[/mm]
[mm] $(4-1)^2+1=10$
[/mm]
[mm] $(5-1)^2+1=17$
[/mm]
[mm] $(6-1)^2+1=26$
[/mm]
...
[mm] \Rightarrow a_n:=\frac{(n-1)^2+1}{3n^2-1} [/mm] mit [mm] n\in\IN.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Di 18.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich nehme an, dass du nicht nach der Lösung fragst, sondern nach dem Fehler in deiner Methode. Deshalb konnten dir die obigen Antworten nicht helfen, deshalb die Nachfragen.
Ich erkläre dir die von dir bevorzugte Methode am besten anhand eines Beispiels.
Lass uns dazu diese Folge betrachten, zu der wir den Bildungsterm suchen :
n 1 2 3 4 5 6
a(n) 2 22 74 170 322 542
erste Diff. 20 52 96 152 220
zweite Diff. 32 44 56 68
dritte Diff. 12 12 12
Du siehst hier, dass die dritten Differenzen konstant sind und kannst daraus schließen, dass das Bildungsgesetz für a(n) mit [mm] a*n^3 [/mm] beginnt (und also letztlich [mm] a*n^3+b*n^2+c*n+d [/mm] sein wird). Das entspricht der Tatsache, dass die dritte Ableitung einer Funktion [mm] a*x^3 [/mm] konstant ist und den Wert 6a hat. Unsere dritte Differenz hat den Wert 12 und daher ist unser a gleich 12/6=2.
Du bildest dann die Hilfsfolge [mm] h_1(n)=2n^3 [/mm] und die Differenz aus a(n) und [mm] h_1(n): \;b(n)=a(n)-h_1(n)=a(n)-2n^3
[/mm]
n 1 2 3 4 5 6
b(n) 0 6 20 42 72 110
erste Diff. 6 14 22 30 38
zweite Diff. 8 8 8 8
Du siehst hier, dass die zweiten Differenzen konstant sind und kannst daraus schließen, dass das Bildungsgesetz für b(n) mit [mm] b*n^2 [/mm] beginnt. Das entspricht der Tatsache, dass die zweite Ableitung einer Funktion [mm] b*x^2 [/mm] konstant ist und den Wert 2b hat. Unsere zweite Differenz hat den Wert 8 und daher ist unser b gleich 8/2=4.
Du bildest dann die Hilfsfolge [mm] h_2(n)=4n^2 [/mm] und die Differenz aus b(n) und [mm] h_2(n): \, c(n)=b(n)-h_2(n)=a(n)-2n^3-4n^2
[/mm]
n 1 2 3 4 5 6
c(n) -4 -10 -16 -22 -28 -34
erste Diff. -6 -6 -6 -6 -6
Du siehst hier, dass die ersten Differenzen konstant sind und kannst daraus schließen, dass das Bildungsgesetz für c(n) mit c*n beginnt. Das entspricht der Tatsache, dass die erste Ableitung einer Funktion c*x konstant ist und den Wert c hat. Unsere erste Differenz hat den Wert -6 und daher ist unser c gleich -6.
Du bildest dann die Hilfsfolge [mm] h_3(n)=-6n [/mm] und die Differenz aus c(n) und [mm] h_3(n): \, d(n)=c(n)-h_3(n)=a(n)-2n^3-4n^2+6n
[/mm]
n 1 2 3 4 5 6
d(n) 2 2 2 2 2 2
Wir brauchen jetzt keine Differenzfolge mehr zu bilden, du siehst, dass d(n)=2 ist, also [mm] a(n)-2n^3-4n^2+6n=2 [/mm] und somit ist die Aufgabe gelöst : [mm] a(n)=2n^3+4n^2-6n+2
[/mm]
Gruß Sax.
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Ein grosses grosses Dankeschön SAX!!
Super Erklärung, super nachvollziehbar!! Hab dein Beispiel durchgenommen und mit deinen Werten verglichen und habe dann auch direkt mein Fehler bei meiner Aufgabe bemerkt, die ich jetzt problemlos lösen konnte!
Vielen dank man! :)
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