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| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] gilt: [mm] \bruch{x+1}{x^{2}-5x+6}=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} [/mm] ?
Geben Sie das Bildungsgesetz für die [mm] a_{n}, [/mm] n [mm] \in \IN_{0} [/mm] an. |
Hallo,
ich habe die Aufgabe gerechnet, bin mir aber nicht sicher, ob alles 100% richtig ist und ich nichts vergessen habe.
Ich fang mal mit meiner Lösung an:
Schritt 1) Partialbruchzerlegung da Zählergrad < Nennergrad
(die einzelnen Schritte der PBZ lasse ich aus, das Ergebnis habe ich mit einer Lösung aus dem Tutorium verglichen)
[mm] \bruch{x+1}{x^{2}-5x+6}=\bruch{4}{x-3}-\bruch{3}{x-2}
[/mm]
Schritt 2) ich ziehe nun den Ansatz aus der PBZ heran:
[mm] \bruch{4}{x-3}-\bruch{3}{x-2}
[/mm]
und bringe die Terme in die Form [mm] \bruch{1}{1-q}:
[/mm]
[mm] -\bruch{4}{3}(\bruch{1}{1-\bruch{x}{3}})+\bruch{3}{2}(\bruch{1}{1-\bruch{x}{2}})
[/mm]
Schritt 3) Zusammenfassen und auf die Form der Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} [/mm] bringen
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}[-\bruch{4}{3}*(\bruch{1}{3})^{n}+\bruch{3}{2}*(\bruch{1}{2})^{n}]*x^{n}=\bruch{x+1}{x^{2}-5x+6}
[/mm]
Schritt 4) Bereich für [mm] a_{n} [/mm] angeben:
[mm] a_{n}=\begin{cases} \bruch{1}{6}, & \mbox{für } n=0 \mbox{ } \\ (-\bruch{4}{3}*(\bruch{1}{3})^{n}+\bruch{3}{2}*(\bruch{1}{2})^{n}), & \mbox{für } n\ge1 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Ist alles so richtig?
Gruß, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andy,
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] gilt:
> [mm]\bruch{x+1}{x^{2}-5x+6}=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}[/mm] ?
>
> Geben Sie das Bildungsgesetz für die [mm]a_{n},[/mm] n [mm]\in \IN_{0}[/mm]
> an.
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabe gerechnet, bin mir aber nicht sicher,
> ob alles 100% richtig ist und ich nichts vergessen habe.
>
> Ich fang mal mit meiner Lösung an:
>
> Schritt 1) Partialbruchzerlegung da Zählergrad <
> Nennergrad
>
> (die einzelnen Schritte der PBZ lasse ich aus, das Ergebnis
> habe ich mit einer Lösung aus dem Tutorium verglichen)
>
> [mm]\bruch{x+1}{x^{2}-5x+6}=\bruch{4}{x-3}-\bruch{3}{x-2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Schritt 2) ich ziehe nun den Ansatz aus der PBZ heran:
>
> [mm]\bruch{4}{x-3}-\bruch{3}{x-2}[/mm]
>
> und bringe die Terme in die Form [mm]\bruch{1}{1-q}:[/mm]
>
> [mm]-\bruch{4}{3}(\bruch{1}{1-\bruch{x}{3}})+\bruch{3}{2}(\bruch{1}{1-\bruch{x}{2}})[/mm]
>
>
> Schritt 3) Zusammenfassen und auf die Form der Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}[/mm] bringen
[mm] $\red{(\*)}$ [/mm] Vorsicht:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n=\tfrac{1}{1-q} \in \IR$ [/mm]
(oder auch [mm] $\IC$) [/mm] gilt für genau alle [mm] $q\,$ [/mm] mit $|q| < [mm] 1\,$!!
[/mm]
D.h.
[mm] $$\bruch{x+1}{x^{2}-5x+6}=-\bruch{4}{3}(\bruch{1}{1-\bruch{x}{3}})+\bruch{3}{2}(\bruch{1}{1-\bruch{x}{2}})$$
[/mm]
[mm]=\summe_{n=0}^{\infty}[-\bruch{4}{3}*(\bruch{1}{3})^{n}+\bruch{3}{2}*(\bruch{1}{2})^{n}]*x^{n}[/mm]
geht nur, wenn SOWOHL $|x/3| < 1$ als auch $|x|/2 < [mm] 1\,$ [/mm] gilt - also "für alle $|x| < [mm] 2\,.$"
[/mm]
> Schritt 4) Bereich für [mm]a_{n}[/mm] angeben:
>
> [mm]a_{n}=\begin{cases} \bruch{1}{6}, & \mbox{für } n=0 \mbox{ } \\ (-\bruch{4}{3}*(\bruch{1}{3})^{n}+\bruch{3}{2}*(\bruch{1}{2})^{n}), & \mbox{für } n\ge1 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
Wofür diese Fallunterscheidung?
[mm] $$a_n=-\bruch{4}{3}*\Big(\bruch{1}{3}\Big)^{n}+\bruch{3}{2}*\Big(\bruch{1}{2}\Big)^{n} \text{ für alle }n \in \IN_0$$
[/mm]
reicht vollkommen. (Kann man vielleicht auch weiter umschreiben (Nenner-gleich
machen etc. pp.), aber eigentlich reicht das auch so...)
> Ist alles so richtig?
Ja, es FEHLTE halt der Bereich, für welche [mm] $x\,$ [/mm] das gilt:
Für alle $x [mm] \in (-2,2)\,.$ [/mm] (Siehe [mm] $\red{(\*)}$!)
[/mm]
Ansonsten:
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Hallo Marcel,
danke für deine Antwort zu später Stunde.
Die Bedingung mit |q|<1 habe ich ergänzt und in meiner Formelsammlung nochmal hervorgehoben.
Lieben Gruß, Andreas
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