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| Aufgabe | Seien auf [mm] V=R^3 [/mm] die beiden linearen Abbildungen
[mm] F:(x_1,x_2,x_3) \mapsto a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3
[/mm]
[mm] G:(x_1,x_2,x_3) \mapsto b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3 [/mm]
definiert mit [mm] a_i, b_i \in [/mm] R.
Zeigen Sie, dass die Abbildung
[mm] \phi:R^3xR^3->R, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] F(x) [mm] \cdot [/mm] G(y) eine Bilinearform auf V ist.
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bezüglich der Standardbasis von V. |
Hallo,
ich habe im Skript zu stehen, dass eine Abbildung S:VxV->K eine Bilinearform ist, falls gilt:
(i) [mm] s(\lambda x+\gamma [/mm] x', [mm] y)=\lambda \cdot [/mm] s(x,y)+ [mm] \gamma \cdot [/mm] s(x',y)
(ii) [mm] s(x,\lambda [/mm] y + [mm] \gamma y')=\lambda \cdot [/mm] s(x,y) + [mm] \gamma \cdot [/mm] s(x,y').
Leider finde ich keinen Ansatz zur Bearbeitung dieser Aufgabe, da ich u.a. nicht x' nicht definieren kann - soll das ein anderer Vektor sein? oder die "Ableitung"?
Wie gehe ich am besten an die Aufgabe heran.
Ein Ansatz wäre sehr hilfreich.
Viele Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Sa 04.07.2015 | | Autor: | hippias |
> Seien auf [mm]V=R^3[/mm] die beiden linearen Abbildungen
> [mm]F:(x_1,x_2,x_3) \mapsto a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3[/mm]
>
> [mm]G:(x_1,x_2,x_3) \mapsto b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3[/mm]
> definiert mit [mm]a_i, b_i \in[/mm] R.
>
> Zeigen Sie, dass die Abbildung
> [mm]\phi:R^3xR^3->R,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm] F(x) [mm]\cdot[/mm] G(y) eine
> Bilinearform auf V ist.
> Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von [mm]\phi[/mm] bezüglich
> der Standardbasis von V.
> Hallo,
> ich habe im Skript zu stehen, dass eine Abbildung S:VxV->K
> eine Bilinearform ist, falls gilt:
> (i) [mm]s(\lambda x+\gamma[/mm] x', [mm]y)=\lambda \cdot[/mm] s(x,y)+ [mm]\gamma \cdot[/mm]
> s(x',y)
> (ii) [mm]s(x,\lambda[/mm] y + [mm]\gamma y')=\lambda \cdot[/mm] s(x,y) +
> [mm]\gamma \cdot[/mm] s(x,y').
>
> Leider finde ich keinen Ansatz zur Bearbeitung dieser
> Aufgabe, da ich u.a. nicht x' nicht definieren kann - soll
> das ein anderer Vektor sein? oder die "Ableitung"?
Selbstverstaendlich ist $x'$ einfach ein anderer Vektor.
> Wie gehe ich am besten an die Aufgabe heran.
> Ein Ansatz wäre sehr hilfreich.
Seien [mm] $x,x',y\in [/mm] V$ und [mm] $\lambda,\gamma\in \IR$. [/mm] Dann gilt nach Definition [mm] $\phi(\lambda x+\gamma x',y)=\ldots$. [/mm] Forme den Term nun so um, bis Du [mm] $\lambda [/mm] F(x)G(y)+ [mm] \gamma [/mm] F(x')G(y)= [mm] \lambda \phi(x,y)+ \gamma \phi(x',y)$ [/mm] erhaelst.
>
> Viele Grüße.
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Vielen lieben Dank hippias.
Ich schätze, ich habe es geschafft:
[mm] \phi (\lambda [/mm] x+ [mm] \gamma x',y)=F(\lambda [/mm] x + [mm] \gamma x')\cdot [/mm] G(y)
[mm] =(a_1(\lambda x_1+\gamma x'_1)+...+a_3(\lambda x_3+ \gamma x'_3)\cdot [/mm] G(y)
[mm] =(\lambda(a_1 x_1+...+a_3 x_3)+\gamma (a_1 x'_1+...+a_3 x'_3))\cdot [/mm] G(y)
[mm] =\lambda [/mm] F(x)G(y)+ [mm] \gamma [/mm] F(x')G(y)= [mm] \lambda \phi [/mm] (x,y)+ [mm] \gamma \phi [/mm] (x',y)
Für (ii) habe ich (einfach) analog hingeschrieben (geht das dann so?)
Jetzt eine weitere Bitte. Wie verfahre ich bei dem Errechnen der Darstellungsmatrix?
Ich kenne die Standardbasis: Muss ich einfach die Basisvektoren abbilden und jeweils den Vektorbildern eine Spalte zuweisen?
Viele Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Sa 04.07.2015 | | Autor: | hippias |
> Vielen lieben Dank hippias.
> Ich schätze, ich habe es geschafft:
> [mm]\phi (\lambda[/mm] x+ [mm]\gamma x',y)=F(\lambda[/mm] x + [mm]\gamma x')\cdot[/mm]
> G(y)
> [mm]=(a_1(\lambda x_1+\gamma x'_1)+...+a_3(\lambda x_3+ \gamma x'_3)\cdot[/mm]
> G(y)
> [mm]=(\lambda(a_1 x_1+...+a_3 x_3)+\gamma (a_1 x'_1+...+a_3 x'_3))\cdot[/mm]
> G(y)
> [mm]=\lambda[/mm] F(x)G(y)+ [mm]\gamma[/mm] F(x')G(y)= [mm]\lambda \phi[/mm] (x,y)+
> [mm]\gamma \phi[/mm] (x',y)
Sieht gut aus.
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> Für (ii) habe ich (einfach) analog hingeschrieben (geht
> das dann so?)
Weiss ich nicht.
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> Jetzt eine weitere Bitte. Wie verfahre ich bei dem
> Errechnen der Darstellungsmatrix?
> Ich kenne die Standardbasis: Muss ich einfach die
> Basisvektoren abbilden und jeweils den Vektorbildern eine
> Spalte zuweisen?
Nein, denn die Bilder sind ja keine Vektoren, sondern Skalare. Also werden die Skalare, die sich durch einsetzen der Standardbasis ergeben als Matrix angeordnet.
>
> Viele Grüße.
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