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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Auf V := [mm] K[X]_n [/mm] sei die Bilinearform [mm] \beta(f,g) [/mm] := [mm] f(\underline{1}) g(\underline{1}) [/mm] gegeben.
Man bestimme die Strukturmatrix von [mm] \beta. [/mm] Ist [mm] \beta [/mm] ausgeartet?
Man bestimme [mm] K[X]_n [/mm] (orthogonal) |
Guten Abend ihr lieben Mathe-Leute! ;)
Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?
Hab zuerst eine Basis von [mm] K[X]_n [/mm] bestimmt:
Basis [mm] (K[X]_n) [/mm] = {1, X, X², X³, ... , [mm] X^n [/mm] }
ich weiß nicht so genau, ob ich das richtig verstanden habe, aber sind f und g Polynome aus dem Raum [mm] K[X]_n [/mm] ?
D.h. ich setze jetzt [mm] \beta [/mm] auf die Basiselemente los (um auf die Strukturmatrix zu kommen):
[mm] \beta(1,1) [/mm] = 1 [mm] (\underline{1} [/mm] 1 [mm] (\underline{1}) [/mm] = 1 ??
aber wie oft muss ich das machen und was muss ich da immer miteinander kombinieren?
und wenn ich dann die matrix hätte, und die determinante davon ungleich 0 wäre, dann wäre [mm] \beta [/mm] nicht ausgeartet ?
und wie ich auf den orthogonalen raum komme ist mir auch noch nicht klar??*help'*
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo Riley!
> Auf V := [mm]K[X]_n[/mm] sei die Bilinearform [mm]\beta(f,g)[/mm] :=
> [mm]f(\underline{1}) g(\underline{1})[/mm] gegeben.
> Man bestimme die Strukturmatrix von [mm]\beta.[/mm] Ist [mm]\beta[/mm]
> ausgeartet?
> Man bestimme [mm]K[X]_n[/mm] (orthogonal)
> Guten Abend ihr lieben Mathe-Leute! ;)
> Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?
> Hab zuerst eine Basis von [mm]K[X]_n[/mm] bestimmt:
> Basis [mm](K[X]_n)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {1, X, X², X³, ... , [mm]X^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> ich weiß nicht so genau, ob ich das richtig verstanden
> habe, aber sind f und g Polynome aus dem Raum [mm]K[X]_n[/mm] ?
> D.h. ich setze jetzt [mm]\beta[/mm] auf die Basiselemente los (um
> auf die Strukturmatrix zu kommen):
> [mm]\beta(1,1)[/mm] = 1 [mm](\underline{1}[/mm] 1 [mm](\underline{1})[/mm] = 1 ??
> aber wie oft muss ich das machen und was muss ich da immer
> miteinander kombinieren?
> und wenn ich dann die matrix hätte, und die determinante
> davon ungleich 0 wäre, dann wäre [mm]\beta[/mm] nicht ausgeartet ?
Also deine Bilinearform ist etwas merkwürdig. Abder dazu später. Erstmal deine Fragen: Ja [mm] $K[X]_n$ [/mm] bezeichnet wohl den Polynomring in der Variablen X über dem Körper K mit Maximal Grad n. Die Basiselemente sind auch korrekt. Es gibt aber auch andere Basen, dazu später.
Die Bilinarform wertet die Polynome f und g jeweils an der Stelle 1 aus und multipliziert das Ergebnis. Das Problem ist, dass für alle Basiselemente deiner Basis die Bilinearform das Ergebnis 1 hat. Damit ist die Strukturmatrix eine Matrix mit nur 1 als Einträge.
Nicht ausgeartet heißt die Bilinarform, wenn sie in jedem Eingang injektiv ist, also die Abbildung die eine Koordinate festhält muss injektiv sein. aber da [mm] $\beta(f,1)=\beta(f,X)=\beta(f,X^2)=\beta(f,X^3)=...= [/mm] f(1)$ ist die Bilinearform ausgeartet.
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Di 23.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Micha!!
vielen vielen dank für deine erklärungen!!
ich versteh noch nicht ganz, wie ich die basiselemente in die abbildung einsetzen müsste, wenn nicht überall 1 rauskommen würde?
muss ich da für f und g immer das gleiche einsetzen ? oder wie kombiniert man das? also [mm] \beta(1,1) [/mm] =...
[mm] \beta(X,X) [/mm] =...
oder auch z.B. [mm] \beta(X^n,X²)=... [/mm] ???
und woher weiß ich was ich genau in die matrix schreiben muss, wenn nicht alles sowieso 1er wären?
und die ausgeartetheit kann ich ja dann auch über die det begründen, oder? [mm] det(\beta)= [/mm] 0 , da es ja lauter lin abh. zeilen und spalten sind, also ist [mm] \beta [/mm] ausgeartet.
Und weißt du wie man den orthogonalen Raum dazu findet?
many THX 4help.
Gruß riley :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Di 23.05.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hi Micha!!
>
> vielen vielen dank für deine erklärungen!!
> ich versteh noch nicht ganz, wie ich die basiselemente in
> die abbildung einsetzen müsste, wenn nicht überall 1
> rauskommen würde?
> muss ich da für f und g immer das gleiche einsetzen ? oder
> wie kombiniert man das? also [mm]\beta(1,1)[/mm] =...
> [mm]\beta(X,X)[/mm] =...
> oder auch z.B. [mm]\beta(X^n,X²)=...[/mm] ???
> und woher weiß ich was ich genau in die matrix schreiben
> muss, wenn nicht alles sowieso 1er wären?
Deine Strukturmatrix schaut so aus, dass du fuer den i,j-ten Eintrag in deiner Matrix das Ergebnis der Rechnung [mm] $\beta (a_i,a,j)$ [/mm] eintraegst, wobei [mm] $a_i$ [/mm] das i-te Basiselement bezeichnet. Da deine Bilinaerform symmetrisch ist, wird es deine Matrix auch sein.
Fuer eine andere Basis der Polynome ist die Strukturmatrix aehnlich denke ich. Eine andere Basis waere z.B.
$B:= [mm] \{ 1, 1+X, 1+ X + X^2, 1+X+X^2+X^3,1+X+X^2+X^3+X^4, ..., 1+X+X^2+...+X^{n-1}+X^n \}$
[/mm]
> und die ausgeartetheit kann ich ja dann auch über die det
> begründen, oder? [mm]det(\beta)=[/mm] 0 , da es ja lauter lin
> abh. zeilen und spalten sind, also ist [mm]\beta[/mm] ausgeartet.
Ja kannst du auch. Da deine Matrix aber nur 1 als Eintraege hat, ist die Determinante natuerlich 0.
> Und weißt du wie man den orthogonalen Raum dazu findet?
Wieviele Polynome g kennst du noch ausser dem Nullpolynom, sodass fuer ein Polynom f gilt:
[mm] $\beta [/mm] (f,g) = f(1) g(1)$
Fuer das Nullpolynom ist das [mm] $\beta [/mm] (f,0) = f(1) 0(1)= f(1)*0=0$
(Hier ist zu beachten, dass nur die letzte Null ein Element von K ist, Die andren 0en in der Zeile sind aus [mm] $K[X]_n$.
[/mm]
Der orthogonale Raum ist fuer diese Bilinearform also nur der triviale [mm] $\{0\}$
[/mm]
Ja hier habe ich mich wirklich vertan. Hier gehören alle Polynome dazu, bei denen 1 eine Nullstelle ist. Mir fällt aber im Moment nicht ein, wie ich alle konstruktiv erzeugen kann.
Gruss Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Di 23.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Micha!
cool, danke sehr für deine erklärungen, so langsam versteh ich das ein bissle besser! :)
nur mit dem orthogonalen raum ist mir das noch nicht klar.
das was du geschrieben hast klingt logisch, nur wir anscheinend soll rauskommen, dass eine Basis von [mm] K[X]_n [/mm] (orth.) wäre [mm] {X^i - X^{i-1}| 1 \le i \le n} [/mm] versteh nur nicht warum und wie man darauf kommt??
viele grüße und vielen dank für deine hilfe!!
riley :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Di 23.05.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ich denke die antwort steh in meiner 2. Mitteilung und der verbesserten Antwort. Danke nochmal Leduart!
> nur mit dem orthogonalen raum ist mir das noch nicht klar.
> das was du geschrieben hast klingt logisch, nur wir
> anscheinend soll rauskommen, dass eine Basis von [mm]K[X]_n[/mm]
> (orth.) wäre [mm]{X^i - X^{i-1}| 1 \le i \le n}[/mm] versteh nur
> nicht warum und wie man darauf kommt??
Das sind gerade n linear unabhängige Polynome, die eine 1 als Nulstelle haben. Damit ist das eine Basis des Orthogonalraumes bzgl. deiner Bilinearform.
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Di 23.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Micha
Ich glaub, du hast dich vertan! Ich kenn ne ganze Menge Polynome mit p(1)=0 z. Bsp 1-x, [mm] x-x^2 [/mm] usw. vielleicht verbesserst du dein post selbst?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Di 23.05.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ja hatte ich danke... weisst du, wie man den Orthogonalen Raum erzeugen kann? Im Prinzip braucht man ja nur n linear unabhängige Polynome, die eine 1 als Nullstelle haben. Deswegen ist die Musterlösung schon eine Basis des orthogonalen Raums, oder?
Gruß Micha
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:49 Mi 24.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Micha!
hm, weiß nicht so genau, muss man um den orthogonalen raum zu finden, zu der basis orthogonale elemente finden??
und die multipliziert müssen 0 geben??
aber wieso müssen die polynome eine 1 als nullstelle haben?? und warum haben sie das? check das noch nicht wirklich... und wie kommt man auf diese lösung??
viele grüße
riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 08.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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