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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:25 Sa 17.01.2009 | | Autor: | farnold |
Hallo,
Eine Billinearform ist eine Abbildung
s : V x V -> K
(v,w) -> s(v,w)
Warum kann ich eine Bilinearform als Matrix schreiben, oder welchen nutzen bringt mir das?
z.B. V = [mm] IR^3 [/mm] K=IR v,w [mm] \in [/mm] V
z.B v=(1,2,3) und w=(3,2,1)
dann ist ja s(v,w) = <v,w> = 1*3+2*2+3*1 = 10.
Für was brauche ich da noch eine Darstellungsmatrix M(s)?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:33 So 18.01.2009 | | Autor: | farnold |
Den Nutzen hab ich nun verstanden, da es ja noch andere Skalarprodukte gibt, als das Standardskalarprodukt/kann. Skalarprodukt.
Wir haben gelernt, dass es zu einem selbstadjungierten Endomorphismus es eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren gibt (ich beschränke mich mal auf den komplexen Fall).
So angenommen ich habe einen selbstadjungierten Endo. und möchte solch eine ONB aus Eigenvektoren.
Zuersteinmal bestimme ich die Nullstellen des char. Polynom, die meine Eigenwerte sind.
Zu jedem Eigenwert bestimme ich nun Eigenräume.
Was mir unklar ist, sind die Eigenräume paarweise orthogonal oder muss ich diese auch noch orthogonalisieren?
(Normieren muss ich noch)
Gibt es hier noch einen anderen weg an die ONB zu kommen (Gram-Schmiedt-Algortihmus fällt mir hier ein), aber welche Basis würde ich hier dann als Ausgangsbasis wählen?
Noch eine Frage, sind Eigenräume immer paarweise orthogonal oder trifft dies nur bei selbstadjungierten Endo.'s zu?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:14 Mo 19.01.2009 | | Autor: | farnold |
> Den Nutzen hab ich nun verstanden, da es ja noch andere
> Skalarprodukte gibt, als das Standardskalarprodukt/kann.
> Skalarprodukt.
>
So, nach wenig schlaf und viel viel lesen und kopfzerbrechen bin ich zu folgender erkenntnis gekommen.
> Wir haben gelernt, dass es zu einem selbstadjungierten
> Endomorphismus es eine Orthonormalbasis bestehend aus
> Eigenvektoren gibt (ich beschränke mich mal auf den
> komplexen Fall).
du musst dich nichtmal auf den komplexen Fall beschränken, du kannst sogar sagen alle Eigenwerte sind reell
> So angenommen ich habe einen selbstadjungierten Endo. und
> möchte solch eine ONB aus Eigenvektoren.
> Zuersteinmal bestimme ich die Nullstellen des char.
> Polynom, die meine Eigenwerte sind.
> Zu jedem Eigenwert bestimme ich nun Eigenräume.
hört sich gut an!
> Was mir unklar ist, sind die Eigenräume paarweise
> orthogonal oder muss ich diese auch noch
> orthogonalisieren?
> (Normieren muss ich noch)
Ja, die Eigenräume sind paarweise zueinander orthogonal, du musst aber die Vektoren in den Eigenräumen orthogonalisieren, unabhängig von den anderen Eigenräumen.
Am Ende noch alle Vektoren normieren und die ONB ist zubereitet.
>
> Gibt es hier noch einen anderen weg an die ONB zu kommen
> (Gram-Schmiedt-Algortihmus fällt mir hier ein), aber welche
> Basis würde ich hier dann als Ausgangsbasis wählen?
>
mir würde nur noch einfallen irgend eine Basis dieses Vektorraums zu nehmen und nach Gram-Schmidt orthonormal zu machen.
> Noch eine Frage, sind Eigenräume immer paarweise orthogonal
> oder trifft dies nur bei selbstadjungierten Endo.'s zu?
i.A. nur bei selbstadjungierten/symmetrischen
Was mir jedoch nicht klar wurde, was genau der Spektralsatz aussagt (ist das einfach, dass zu einem selbstadjungierten Endo es eine ONB aus Eigenvektoren gibt?).
Und was man unter einer Hauptachsentransformation
versteht( wir haben aufgeschrieben, das sei eine Diagonalisierung von Formen, aber nach dem Spektralsatz haben wir ja eine Basis aus Eigenvektoren, damit folgt ja direkt das es eine Diagonalmatrix gibt, warum macht man dazu dann ein neues Thema?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 21.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 20.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Mo 19.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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