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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Do 05.03.2009 | | Autor: | daisa |
| Aufgabe | Seien V ein reeller Vektorraum und s: V x V [mm] \to \IR [/mm] eine symmetrische Bilinearform mit s(v,v) [mm] \ge [/mm] 0 für alle v [mm] \in [/mm] V (man bezeichnet solches s als positiv semidefinit). Zeigen Sie:
a) U:= {v [mm] \in [/mm] V | s(v,v) = 0} ist ein Untervektorraum von V.
b) Die Abbildung [mm] \overline{s}: [/mm] (V/U) x (V/U) [mm] \to \IR, \overline{s}(v+U,w+U) [/mm] := s(v,w) ist wohldefiniert und ist ein Skalarprodukt auf dem Quotientenvektorraum V/U. |
Hallo zusammen,
ich bin wieder mal am verzweifeln....
Ich denke, dass man bei a) eventuell die Axiome des Untervektorraum d.h.
i) U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
ii) v,w [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] v + w [mm] \in [/mm] W
iii) v [mm] \in [/mm] W, [mm] \lambda*v \in [/mm] W
überprüfen muss..
Stimmt das? Und wie kann man da vorgehen?
Zu b): Ich kapier bis heute nicht, was "wohldefiniert" bedeutet. Kann mir jemand eine einfache und kurze Erklärung geben? Und eventuell noch ein Tipp?
Vielen Dank im voraus!!
lg, daisa
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> Seien V ein reeller Vektorraum und s: V x V [mm]\to \IR[/mm] eine
> symmetrische Bilinearform mit s(v,v) [mm]\ge[/mm] 0 für alle v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V
> (man bezeichnet solches s als positiv semidefinit). Zeigen
> Sie:
>
> a) U:= {v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V | s(v,v) = 0} ist ein Untervektorraum von
> V.
>
> b) Die Abbildung [mm]\overline{s}:[/mm] (V/U) x (V/U) [mm]\to \IR, \overline{s}(v+U,w+U)[/mm]
> := s(v,w) ist wohldefiniert und ist ein Skalarprodukt auf
> dem Quotientenvektorraum V/U.
> Hallo zusammen,
>
> ich bin wieder mal am verzweifeln....
>
> Ich denke, dass man bei a) eventuell die Axiome des
> Untervektorraum d.h.
> i) U [mm]\not= \emptyset[/mm]
> ii) v,w [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] v + w [mm]\in[/mm]
> W
> iii) v [mm]\in[/mm] W, [mm]\lambda*v \in[/mm] W
> überprüfen muss..
> Stimmt das?
Hallo,
ja.
> Und wie kann man da vorgehen?
Genau wie immer bei diesen Aufgaben:
zeige, daß die 0 drin ist, zeige, daß für [mm] u,v\in [/mm] U auch u+v drin ist, für [mm] \lamda [/mm] v entsprechend.
Woran erkennst Du denn, ob ein Vektor, nennen wir ihn w, in U liegt? genau diese Eigenschaft mußt Du nachweisen.
> Zu b): Ich kapier bis heute nicht, was "wohldefiniert"
> bedeutet. Kann mir jemand eine einfache und kurze Erklärung
> geben? Und eventuell noch ein Tipp?
Wenn Du eine Funktion [mm] f:A\to [/mm] B hast, mußt Du zweierlei sicherstellen:
- daß wirklich jedem Element des Definitionsbereiches ein Funktionswert zugewiesen wird
- a,b [mm] \in [/mm] A mit a=b ==> f(a)=f(b).
Und genau der zweite Punkt könnte in Deiner Aufgabe ein Problem sein. Bedenke, daß v+U=v'+U sein kann, obgleich v und v' verschieden sind, und Du mußt sicherstellen, daß wirklich derselbe Funktionswert herauskommt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 08.03.2009 | | Autor: | daisa |
zu a):
1) Mir ist klar, dass 0 [mm] \in [/mm] U und somit U [mm] \not= \emptyset. [/mm] Doch wie kann ich das schön und mathematisch aufschreiben?
2) v, w [mm] \in [/mm] V, s(v+w, v+w) = 0 [mm] \in [/mm] U
3) [mm] \lambda \in \IR, [/mm] v [mm] \in [/mm] V, [mm] s(\lambda [/mm] * v, [mm] \lambda [/mm] * v) = 0 [mm] \in [/mm] U
Stimmt das so?
lg, daisa
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> zu a):
>
> 1) Mir ist klar, dass 0 [mm]\in[/mm] U und somit U [mm]\not= \emptyset.[/mm]
> Doch wie kann ich das schön und mathematisch aufschreiben?
Hallo,
Du mußt glaubhaft begründen, daß s(0,0)=0 ist, entweder durch Rückgriff auf Definitionen oder durch Vorrechnen unter Zuhilfenahme der Definitionen.
Entweder kommt das in Eurer Def. für symmetrische
>
> 2) v, w [mm]\in[/mm] V, s(v+w, v+w) = 0 [mm]\in[/mm] U
>
> 3) [mm]\lambda \in \IR,[/mm] v [mm]\in[/mm] V, [mm]s(\lambda[/mm] * v, [mm]\lambda[/mm] * v) =
> 0 [mm]\in[/mm] U
>
> Stimmt das so?
Das sind die Dinge, die zu zeigen sind,
Du mußt nun vorrechnen, daß sie stimmen
Gruß v. Angela
>
> lg, daisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 08.03.2009 | | Autor: | daisa |
3) [mm] s(\lambda [/mm] * v, [mm] \lambda [/mm] * v) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] s(v,\lambda [/mm] * v) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \overline{\lambda} [/mm] * s(v,v) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \overline{\lambda} [/mm] * 0 = 0 [mm] \in [/mm] U.
richtig so?
2) s(v+w,v+w) = s(v,v+w) + s(w,v+w) = s(v,v) + s(v,w) + s(w,v) + s(w,w)
da s(v,v) = s(w,w) = 0
und da es sich um eine SYMMETRISCHE Bilinearform handelt gilt: s(v,w) = s(w,v)
deshalb:
s(v+w,v+w) = 2* s(v,w)
jetzt müsste ich zeigen, dass s(v,w) = 0 ist.
wie zeigt man sowas?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Mo 09.03.2009 | | Autor: | daisa |
bei 3) ist mir ein kleiner Fehler unterlaufen. ich meine beide [mm] \lambda [/mm] nicht komplex..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Mo 09.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> 3) [mm]s(\lambda[/mm] * v, [mm]\lambda[/mm] * v) = [mm]\lambda[/mm] * [mm]s(v,\lambda[/mm] *
> v) = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\overline{\lambda}[/mm] * s(v,v) = [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]\overline{\lambda}[/mm] * 0 = 0 [mm]\in[/mm] U.
> richtig so?
>
> 2) s(v+w,v+w) = s(v,v+w) + s(w,v+w) = s(v,v) + s(v,w) +
> s(w,v) + s(w,w)
> da s(v,v) = s(w,w) = 0
> und da es sich um eine SYMMETRISCHE Bilinearform handelt
> gilt: s(v,w) = s(w,v)
> deshalb:
> s(v+w,v+w) = 2* s(v,w)
> jetzt müsste ich zeigen, dass s(v,w) = 0 ist.
> wie zeigt man sowas?
Du hast doch: s(x,x) [mm] \ge [/mm] 0 für jedes x.
Also ist, für v,w [mm] \in [/mm] U: s(v+w,v+w) = 2* s(v,w) [mm] \ge [/mm] 0
und s(v-w,v-w) = -2* s(v,w) [mm] \ge [/mm] 0.
Somit: s(v,w) = 0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Mo 09.03.2009 | | Autor: | daisa |
hallo fred
so ist es ja ganz einfach.. vielen dank!
lg, daisa
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