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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Fr 01.05.2009 | | Autor: | sevtap |
| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit einer symmetrischen, positiv semidefinitin Bilinearform s: V x V [mm] \to \IR.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass für s(u,u) = 0 [mm] \Rightarrow \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V : s(u,v) = 0.
b) Zeigen Sie für [mm] u,v\inV [/mm] die folgende Ungleichung
[mm] (s(u,v))^{2} \le [/mm] s(u,u)s(v,v).
Betrachten Sie dazu den Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und achten Sie auf die Stelle, an der wir verwenden, dass ein Skalarprodukt positiv definit ist.
c) Sei [mm] A\in M(nxn,\IR) [/mm] eine positiv semidefinite und symmetrische Matrix. Zeigen Sie, dass für alle [mm] x,y\in \IR^{n} [/mm] gilt:
[mm] (\summe_{1\le i,j \le n} a_{ij}x_{i}y_{j} )^2 \le (\summe_{1\le i,j \le n} a_{ij}x_{i}x_{j}) (\summe_{1\le i,j \le n} a_{ij}y_{i}y_{j}).
[/mm]
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Hallo zusammen,
ich habe Schwierigkeiten bei der Aufgabe und würde mich freuen wenn mit jemand helfen könnte.
Ich weiß ich habe eine symmetrische, positiv semidefinite BF, kann ich dann
s(u,u) als Skalarprodukt schreiben ?
Wenn ja, dann kann ich doch einfach davon ausgehen das u=0 ist und daraus folgern das auch s(u,v) = 0 ist.
zu b: wenn s(u,u) = <u,u> dann ist b doch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung selbst.
zu c: da würde ich dann nicht anders vorgehen als bei b.
ich habe mir noch nicht viele gedanken gemacht, und würde mich über einen kleinen tipp freuen.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Fr 01.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich weiß ich habe eine symmetrische, positiv semidefinite
> BF, kann ich dann
> s(u,u) als Skalarprodukt schreiben ?
Nein, natürlich nicht. Ist dir der Unterschied zwischen SKP und positiv semi-definit klar?
> Wenn ja, dann kann ich doch einfach davon ausgehen das u=0
> ist und daraus folgern das auch s(u,v) = 0 ist.
Nein, das ist auch falsch im Allgemeinen.
Ein Tip von mir: schau dir mal [m]0\le s(u+\lamba * v, u+\lamba * v)[/m] an, rechne dies aus.
> zu b: wenn s(u,u) = <u,u> dann ist b doch die
> Cauchy-Schwarz-Ungleichung selbst.
Was ist denn euer Beweis für die CSU? Irgendwo muss man verwenden, dass [m]\ge 0[/m] ist - das muss man hier also (mit der a) tippe ich ...) ausgleichen.
> zu c: da würde ich dann nicht anders vorgehen als bei b.
Folgt aus der b) - wie kann man aus einer Matrix eine Bilinearform machen?
SEcki
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