Bilinearform / Orthogonalraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Marsei |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum aller beschränkten reellen Zahlenfolgen, d.h.
V = { [mm] (x_{i})_{i \in\IN} [/mm] | [mm] x_{i}\in\IR [/mm] mit [mm] \exists [/mm] c [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] |x_{i}|
Zeigen sie, dass durch
[mm] \gamma: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR, \gamma(x,y]= \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{ x_{i} y_{i}}{i^2},
[/mm]
eine nicht ausgeartete Bilinearform auf V definiert ist. Finden sie einen echten Unterraum U von V, so dass U [mm] ^\perp={0}.
[/mm]
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Normalerweise hätte ich die Strukturmatrix von [mm] \gamma [/mm] versucht bezüglich irgendeiner Basis zu bestimmen und danach die Determinante bestimmt, denn wenn die [mm] \not=0 [/mm] ist (geht aber nur wegen gleichen Dimensionen von V [mm] \times [/mm] V ), hätte ich den ersten Teil schon erledigt. Nur fehlt mir hierfür echt der Ansatz. Für den zweiten Teil sieht es ähnlich düster aus. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
So long Marsei
P.S. Habe diese Aufgabe nur in diesem Forum gestellt.
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Hallo Marsei,
zunächst mal musst du zeigen, dass [mm] $\gamma$ [/mm] eine bilinearform ist und als solche wohldefiniert (ist das klar?).
Was heißt dann nicht ausgeartet? Dh., dass es kein element [mm] $v\in [/mm] V$ mit $v [mm] \ne [/mm] 0$ geben darf, so dass $<v,w>=0, [mm] \forall w\in [/mm] V$ gilt. Du musst also zu jedem [mm] $v\in [/mm] V, [mm] v\ne [/mm] 0$ mindestens ein $w$ angeben können, so dass $<v,w> [mm] \ne [/mm] 0$ gilt. Ein bestimmtes $w$ bietet sich da natürlich an.... (denk mal an skalarprodukte).
die zweite frage ist mir nicht ganz klar: gesucht ist ein echter unterraum $U$ von $V$, sd. [mm] $U^\perp=\{0\}$ [/mm] ist?
Vermutlich sollst du für diesen UR $U$ zeigen, dass es kein [mm] $v\in V,v\ne [/mm] 0$ gibt, sd. [mm] $=0,\forall u\in [/mm] U$. Ich denke, das müsste gehen mit [mm] $U=l^2$, [/mm] also dem raum der quadrat-summierbaren reihen, dh.
[mm] $U=\{(x_i)_{i\in \IN}:\sum_{i=1}^\infty |x_i|^2<\infty\}$
[/mm]
bezüglich der Aussage [mm] $U^\perp=\{0\}$ [/mm] kannst du dann so ähnlich argumentieren wie bei der ersten Frage.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Di 16.05.2006 | | Autor: | Marsei |
Also den ersten Teil hab ich denk ich mal. Für die Bilinearform ist z.z.
[mm] \gamma [/mm] (ax+bx,y) = [mm] a*\gamma [/mm] (x,y) + [mm] b*\gamma(x,y)
[/mm]
Analoger Beweis für das 2. Argument/Variable.
Das war einfach ausrechnen der Definitionen.
Für den Part mit dem nicht ausgeartet habe ich wie folgt argumentiert:
z.z. [mm] \gamma [/mm] ist n.a. [mm] \gdw \exists [/mm] kein v [mm] \in [/mm] V ohne {0} mit <v,w>=0 [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] V.
[mm] \Rightarrow [/mm] es genügt z.z. für ein beliebiges aber festes v [mm] \in [/mm] V ohne {0} [mm] \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] V mit <x,y,> [mm] \not= [/mm] 0
Dazu:
Sei also x [mm] \in [/mm] V ohne {0} beliebig aber fest. Wähle dazu y:= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \gamma [/mm] (x,y) = [mm] \summe_{i=1}^{ \infty } \bruch{x_{i}*y_{i}}{i^2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{ \infty } \bruch{x_{i}*\bruch{1}{x_{i}} }{i^2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{ \infty } \bruch{1}{i^2} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^2}{6} \not= [/mm] 0
Für den zweiten Teil hätte ich die Frage, wie kann eine Reihe Unterraum von einer Folge sein? Oder meinst du einfach ich soll als UR alle Folgen mit [mm] ((x_{i})^2)_{i \in \IN } [/mm] und argumentiere dann über den Betrag, dass das Skalarprodukt nur für <x,y>=0 für y=0 erfüllt sein kann und somit {0} den Orthogonalraum zu U bildet?
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Hallo,
> Also den ersten Teil hab ich denk ich mal. Für die
> Bilinearform ist z.z.
> [mm]\gamma[/mm] (ax+bx,y) = [mm]a*\gamma[/mm] (x,y) + [mm]b*\gamma(x,y)[/mm]
> Analoger Beweis für das 2. Argument/Variable.
> Das war einfach ausrechnen der Definitionen.
was evtl. noch fehlt, ist eine kurze argumentation, dass die reihe für alle $x,y$ konvergiert, [mm] $\gamma(x,y)$ [/mm] also eine reelle zahl ist (->wohldefiniertheit).
> Für den Part mit dem nicht ausgeartet habe ich wie folgt
> argumentiert:
> z.z. [mm]\gamma[/mm] ist n.a. [mm]\gdw \exists[/mm] kein v [mm]\in[/mm] V ohne {0}
> mit <v,w>=0 [mm]\forall[/mm] w [mm]\in[/mm] V.
> [mm]\Rightarrow[/mm] es genügt z.z. für ein beliebiges aber festes
> v [mm]\in[/mm] V ohne {0} [mm]\exists[/mm] w [mm]\in[/mm] V mit <x,y,> [mm]\not=[/mm] 0
> Dazu:
> Sei also x [mm]\in[/mm] V ohne {0} beliebig aber fest. Wähle dazu
> y:= [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \gamma[/mm] (x,y) = [mm]\summe_{i=1}^{ \infty } \bruch{x_{i}*y_{i}}{i^2}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{ \infty } \bruch{x_{i}*\bruch{1}{x_{i}} }{i^2}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{ \infty } \bruch{1}{i^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{\pi^2}{6} \not=[/mm] 0
So gehts auch, ja. Allerdings musst du aufpassen: es können auch folgeglieder null sein.
> Für den zweiten Teil hätte ich die Frage, wie kann eine
> Reihe Unterraum von einer Folge sein?
Ich habe mich ein wenig mißverständlich ausgedrückt: ich meinte $U$ als Raum der Folgen, die quadrat-summierbar sind. Diese bilden einen Unterraum von $V$, da sie immer beschränkt sind, aber einen echten Unterraum, da es natürlich beschränkte folgen gibt, die nicht quadrat-summierbar sind. du müsstest hier zeigen, dass es zu einem beliebigen [mm] $v\in V\backslash \{0\}$ [/mm] ein [mm] $u\in [/mm] U$ gibt, so dass [mm] $\ne [/mm] 0$.
VG
Matthias
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