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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 So 24.04.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Die Bilinearform $ [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR^4 \times \IR^4 \to \IR [/mm] $ sei bzgl. der Standardbasis durch die Matrix
$ M := [mm] \pmat{ 1&0&0&1 \\ 0&1&1&1 \\ 0&1&1&0 \\ 1&1&0&1 } [/mm] $ gegeben.
(a) Ist [mm] \phi [/mm] ausgeartet?
(b) Berechnen Sie die Menge $ [mm] M^{\perp} [/mm] = [mm] \{ v \in \IR^4 | \phi(v,x) = 0, \forall x \in M \} [/mm] $
für $ M = [mm] \{ \pmat{1\\0\\0\\0} , \pmat{0\\1\\1\\1}\} [/mm] $ |
Hallo! Habe mich mal ein bisschen mit dem Stoff beschäftigt und bräuchte hier und da evtl. ein paar Korrekturen bzw. Tipps zu den Aufgaben. Wäre nett, wenn jemand drüber lesen könnte.. ;)
(a) Seien zunächst $ x,y [mm] \in \IR^4 [/mm] $. Damit komme ich auf:
$ [mm] \phi(\pmat{x_1\\x_2\\x_3\\x_4},\pmat{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}) [/mm] = ( [mm] x_1, x_2, x_3, x_4 [/mm] ) * [mm] \pmat{ 1&0&0&1 \\ 0&1&1&1 \\ 0&1&1&0 \\ 1&1&0&1 } [/mm] * [mm] \pmat{y_1\\y_2\\y_3\\y_4} [/mm] $
= [mm] x_1y_1+x_4y_1+x_2y_2+x_3y_2+x_4y_2+x_2y_3+x_3y_3+x_1y_4+x_2y_4+x_4y_4 [/mm] (*)
Nun ist die Bilinearform nicht ausgeartet, wenn für alle
$ x [mm] \in \IR^4 [/mm] $ gilt: Ist $ [mm] \phi(x, [/mm] y) = 0 $ für alle $ y [mm] \in \IR^4 [/mm] $ , so ist bereits $ x = 0 $.
also umgeformt: (*) = $ [mm] x_1(y_1+y_4) [/mm] + [mm] x_2(y_2+y_3+y_4) [/mm] + [mm] x_3(y_2+y_3) [/mm] + [mm] x_4(y_1+y_2+y_4) [/mm] = 0 $
Ich denke, jetzt muss ich zeigen, dass die "Klammern mit den [mm] y_n" [/mm] zueinander linear unabhängig sind?! Hab ich dann schon gez. dass die Bilinearform nicht ausgeartet ist? Mit der Determinante darf ich meines Wissens noch nicht argumentieren.. danke schonmal fürs drüber gucken & für alle nützlichen Tipps! :)
Zu (b) komme ich später, will erstmal das hier kapiern.. ;)
Dankeschön!
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Hallo chesn,
> Die Bilinearform [mm]\phi : \IR^4 \times \IR^4 \to \IR[/mm] sei
> bzgl. der Standardbasis durch die Matrix
>
> [mm]M := \pmat{ 1&0&0&1 \\ 0&1&1&1 \\ 0&1&1&0 \\ 1&1&0&1 }[/mm]
> gegeben.
>
> (a) Ist [mm]\phi[/mm] ausgeartet?
>
> (b) Berechnen Sie die Menge [mm]M^{\perp} = \{ v \in \IR^4 | \phi(v,x) = 0, \forall x \in M \}[/mm]
>
> für [mm]M = \{ \pmat{1\\0\\0\\0} , \pmat{0\\1\\1\\1}\}[/mm]
> Hallo! Habe mich mal ein bisschen mit dem Stoff
> beschäftigt und bräuchte hier und da evtl. ein paar
> Korrekturen bzw. Tipps zu den Aufgaben. Wäre nett, wenn
> jemand drüber lesen könnte.. ;)
>
> (a) Seien zunächst [mm]x,y \in \IR^4 [/mm]. Damit komme ich auf:
>
> [mm]\phi(\pmat{x_1\\x_2\\x_3\\x_4},\pmat{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}) = ( x_1, x_2, x_3, x_4 ) * \pmat{ 1&0&0&1 \\ 0&1&1&1 \\ 0&1&1&0 \\ 1&1&0&1 } * \pmat{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}[/mm]
>
> =
> [mm]x_1y_1+x_4y_1+x_2y_2+x_3y_2+x_4y_2+x_2y_3+x_3y_3+x_1y_4+x_2y_4+x_4y_4[/mm]
> (*)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun ist die Bilinearform nicht ausgeartet, wenn für alle
> [mm]x \in \IR^4[/mm] gilt: Ist [mm]\phi(x, y) = 0[/mm] für alle [mm]y \in \IR^4[/mm]
> , so ist bereits [mm]x = 0 [/mm].
>
> also umgeformt: (*) = [mm]x_1(y_1+y_4) + x_2(y_2+y_3+y_4) + x_3(y_2+y_3) + x_4(y_1+y_2+y_4) = 0[/mm]
>
> Ich denke, jetzt muss ich zeigen, dass die "Klammern mit
> den [mm]y_n"[/mm] zueinander linear unabhängig sind?! Hab ich dann
Ja.
> schon gez. dass die Bilinearform nicht ausgeartet ist? Mit
Ja, da es sich hier jeweils um den [mm]\IR^{4}[/mm] handelt.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Bilinearform
> der Determinante darf ich meines Wissens noch nicht
> argumentieren.. danke schonmal fürs drüber gucken & für
> alle nützlichen Tipps! :)
>
> Zu (b) komme ich später, will erstmal das hier kapiern..
> ;)
>
> Dankeschön!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Mo 25.04.2011 | | Autor: | chesn |
Erstmal dankeschön für die Antowrt!
Bei Teil (b) habe ich noch ein kleines Problemchen:
Habe die Vektoren aus M eingesetzt und kam auf folgendes:
[mm] \phi(v,\pmat{1\\0\\0\\0}) [/mm] = [mm] (v_1,v_2,v_3,v_4)*\pmat{ 1&0&0&1 \\ 0&1&1&1 \\ 0&1&1&0 \\ 1&1&0&1 }*\pmat{1\\0\\0\\0}=v_1+v_4
[/mm]
Also: $ [mm] v_1+v_4 [/mm] = 0 [mm] \gdw v_1 [/mm] = [mm] -v_4 [/mm] $
Ein Vektor aus [mm] M^{\perp} [/mm] wäre damit z.B. $ [mm] t*\pmat{1\\0\\0\\-1} [/mm] $.
Soweit richtig? Weiter gehts mit dem anderen Vektor aus M:
[mm] \phi(v,\pmat{0\\1\\1\\1}) [/mm] = [mm] (v_1,v_2,v_3,v_4)*\pmat{ 1&0&0&1 \\ 0&1&1&1 \\ 0&1&1&0 \\ 1&1&0&1 }*\pmat{1\\0\\0\\0}=v_1+3*v_2+2*v_3+2*v_4 [/mm]
Mit $ [mm] v_1+3*v_2+2*v_3+2*v_4 [/mm] = 0 $ allerdings stehe ich jetzt auf dem Schlauch.. heisst das nicht, ich habe unendlich viele Lösungen,
d.h. alle [mm] v\in\IR^4 [/mm] liegen in M?
Danke schonmal! :)
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Hallo chesn,
> Erstmal dankeschön für die Antowrt!
>
> Bei Teil (b) habe ich noch ein kleines Problemchen:
>
> Habe die Vektoren aus M eingesetzt und kam auf folgendes:
>
> [mm]\phi(v,\pmat{1\\0\\0\\0})[/mm] = [mm](v_1,v_2,v_3,v_4)*\pmat{ 1&0&0&1 \\ 0&1&1&1 \\ 0&1&1&0 \\ 1&1&0&1 }*\pmat{1\\0\\0\\0}=v_1+v_4[/mm]
>
> Also: [mm]v_1+v_4 = 0 \gdw v_1 = -v_4[/mm]
>
> Ein Vektor aus [mm]M^{\perp}[/mm] wäre damit z.B.
> [mm]t*\pmat{1\\0\\0\\-1} [/mm].
>
> Soweit richtig? Weiter gehts mit dem anderen Vektor aus M:
Das ist soweit richtig.
> [mm]\phi(v,\pmat{0\\1\\1\\1})[/mm] = [mm](v_1,v_2,v_3,v_4)*\pmat{ 1&0&0&1 \\ 0&1&1&1 \\ 0&1&1&0 \\ 1&1&0&1 }*\pmat{1\\0\\0\\0}=v_1+3*v_2+2*v_3+2*v_4[/mm]
>
> Mit [mm]v_1+3*v_2+2*v_3+2*v_4 = 0[/mm] allerdings stehe ich jetzt
> auf dem Schlauch.. heisst das nicht, ich habe unendlich
> viele Lösungen,
> d.h. alle [mm]v\in\IR^4[/mm] liegen in M?
Nein, das heisst es nicht.
Es gibt zwar [mm]\infty[/mm]-viele Lösungen,
diese liegen aber nicht alle im [mm]\IR^{4}[/mm].
Du hast doch 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
>
> Danke schonmal! :)
Gruss
MathePower
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