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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | | Die Mengen Sym(V) der symmetrischen und Alt(V) der alternierenden Bilinearformen sind Untervektorräume von Bil(V) (= Menge aller Bilinearformen auf V). Bestimmen Sie deren Dimension. |
Hallo!
Das ist die einzige Teilaufgabe, die ich nicht hinbekommen hat auf dem aktuellen Zettel *stolzbin*.
Hab keine Ahnung, wie man das zeigen soll. Man weiß ja nix über die Bilinearformen..
Vielleicht weiß ja einer von euch, wie man diese Aufgabe löst - würde mich mal interessieren (auch wenn ich erst ne Antwort nach der Zettelabgabe morgen bekomme..)
Danke schonmal!
LG
Linda
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Moin Linda,
wähle eine Basis [mm] v_1,\ldots [/mm] , [mm] v_n [/mm] von V (wir nehmen für den Moment mal an, V sei endlichdimensional).
Sei [mm] \beta [/mm] eine Bilinearform auf V. Dann schreib die Bilder [mm] \beta( v_i,v_j) [/mm] als Einträge einer quadratischen Matrix [mm] B=B(\beta).
[/mm]
Behauptung:
Für [mm] u\in [/mm] V, [mm] u=\sum_i u_i\cdot v_i [/mm] und [mm] w\in [/mm] V, [mm] w=\sum w_i\cdot v_i [/mm] gilt
[mm] \beta(u,w)= (u_1\:\ldots \: u_n)\cdot B\cdot (v_1\:\ldots \: v_n)^T.
[/mm]
Das kannst Du elementar durch Nachrechnen zeigen.
Also: Bilinearformen werden auf diese Weise durch quadratische Matrizen reprásentiert, und zu jeder quard. Matrix A ist
[mm] \alpha_A (u,w)\: :=\: u^T\cdot A\cdot [/mm] w
eine Bilinearform.
Damit ist die Dimension von Bil(V) gleich [mm] n^2.
[/mm]
Es ist dann [mm] \alpha [/mm]
- symmetrisch genau dann, wenn [mm] A=A_{\alpha} [/mm] symmetrische Matrix ist (also Dimension des Raumes dieser: [mm] n(n+1)\slash [/mm] 2
(gleich Anzahl zu wählender Eintráge der symm. Matrix,
- alternierend genau dann, wenn A schiefsymmetrisch ist (kommt dieselbe Dimension heraus).
Klar soweit ?
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Do 29.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
vielen vielen dank
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