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| Aufgabe | Seien V und W beliebige endlichdimensionale Vektorräume über einem Körper K.
Sei eine Bilinearform B:VxW [mm] \rightarrow [/mm] K definiert. Die Bilinearform ist nicht-ausgeartet. (Def. vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Bilinearform)
[mm] \forall [/mm] L:VxW [mm] \rightarrow [/mm] K [mm] \exists! f\in [/mm] End(V) mit
L(v,w)=B(f(v),w) [mm] \forall v\inV w\inW. [/mm]
Beweis:
Sei [mm] v\inV [/mm] zunächst beliebig aber fest gewählt.
Dann beschreibt [mm] w\rightarrow L(v,w)\in [/mm] K eine Abbildungvon W [mm] \rightarrow [/mm] K, d.h. (W [mm] \to [/mm] K) [mm] \in [/mm] W* - dem Dualraumzu W.
Dieser Dualraum W* ist isomorph (warum?) zu V.
[mm] \Rightarrow \exists! v'\inV [/mm] : L(v,w)=B(v',w) [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W
Sei f(v)=v'. Damit ist alles gezeigt. |
Hallo.
Ich habe einige Fragen zum obigen Beweis:
1) Warum ist W* isomorph zu V?
2) Wenn wir mal davon ausgehen, dass W* und V isomorph sind,
dann kann ich ja jedem [mm] v\in [/mm] V eine Linearform B(v,w) zuordnen wobei v fest ist. Warum gilt dann diese Implikation?
3) Kann man mir mal dazu ein Beispiel (ev.mit Matrizen geben)
Gruß und Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 So 24.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> keine Ideen?
Bitte poste keine zweite Fakefrage in dem Thread, um deine Frage zu pushen, sondern warte erstmal ab.
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 So 24.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe einige Fragen zum obigen Beweis:
> 1) Warum ist W* isomorph zu V?
Die Abbildung [m]V\to W^\star, v\mapsto (w\mapsto B(v,w))[/m] ist ein injektiver Hom. wg. Nicht-Ausgeartetheit. Genauso erhält man einen von W nach [m]V^\star[/m], da die Räume endlich-dim. sind, sind also W, V und die Dualräume alle von gleicher Dimension, also erster Hom. sogar surjektiv.
> 2) Wenn wir mal davon ausgehen, dass W* und V isomorph
> sind,
> dann kann ich ja jedem [mm]v\in[/mm] V eine Linearform B(v,w)
> zuordnen wobei v fest ist. Warum gilt dann diese
> Implikation?
Welche Implikation? Da die Räume durch obigen Iso isomorph sind, kann man für jede lineare Abbildung genau ein passendes [m]v'[/m] finden - meinst du etwas in die Richtung?
> 3) Kann man mir mal dazu ein Beispiel (ev.mit Matrizen
> geben)
Hm ... sei B das Standardskalarprodukt, [m]V=K=\IR^n[/m]. Weiterhin lässt sich jedes L bilinear darstellen mit einer Matrix [m]M_L[/m] mit [m]L(v,w)=v^t*M_L*w[/m]. Damit ist die lineare Abbildung dann wegen [m]L(v,w)=(M_L^t*v)^t*w[/m] die Matrix [m]M_L^t[/m].
SEcki
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Sorry. Es ar nicht meine Absicht, die Frage auf diese Art und Weise zu "pushen".
Zum eigentlichen Thema:
Also v' ist ja fest. Dann leben in W* Elemente vom Typ B(v',w).
Wegen der Isomorphie kann ich jetzt jedem v' ein B(v',w) zuordnen.
Jetzt kommt L(v,w) daher. Aber warum ist das jetzt =B(v'w).
Mir ist der Zusammenhang zwischen v und v' noch nicht wirklich klar
bzw. ist mir nicht klar was da was zugeordnet wird und was fest gewählt wird. Außerdem sieht doch W* je nach wahl von v immer anders aus, oder? Weil es macht ja schon einen Unterschied ob die Elemente vom Typ [mm] B(v_1,w) [/mm] oder vom Typ [mm] B(v_2,w) [/mm] sind.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Mo 25.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Also v' ist ja fest. Dann leben in W* Elemente vom Typ
> B(v',w).
Bitte was? Für v' gibt es nur ein Element in W* - nämlich [m]w\mapsto B(v',w)[/m].
> Wegen der Isomorphie kann ich jetzt jedem v' ein B(v',w)
> zuordnen.
Nein, du schreibst den Iso ja hin. Das geht so nicht - aber zu jedem [m]w^\star\in W^\star[/m] gibt es ein v' mit [m]w^\star=(w\mapsto B(v',w)[/m]
> Jetzt kommt L(v,w) daher. Aber warum ist das jetzt =B(v'w).
> Mir ist der Zusammenhang zwischen v und v' noch nicht
> wirklich klar
Für festes v ist [m]L(v,\cdot)\in W^\star[/m], also gibt es ein v' ...
> bzw. ist mir nicht klar was da was zugeordnet wird und was
> fest gewählt wird. Außerdem sieht doch W* je nach wahl von
> v immer anders aus, oder?
Ja, und es gibt immer ein anderes v' - so ist dein f dann definiert!
> Weil es macht ja schon einen
> Unterschied ob die Elemente vom Typ [mm]B(v_1,w)[/mm] oder vom Typ
> [mm]B(v_2,w)[/mm] sind.
Solche Typen gibt es nicht.
SEcki
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Hi.
Mal eine generelle Frage. Wie zeige ich in solchen Fällen denn die Isomorphie und kann es z.B. sein (rein spekulativ), dass es einen Isomorphismus gibt der jedem v' ein B(v',w) zuordnet, aber es gibt keinen Isomorphismus der jedem B(v',w) ein v' zuordnet??
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Di 26.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Wie zeige ich in solchen Fällen
> denn die Isomorphie
Was meinst du konkret? Was ist ein "solcher Fall"?
> und kann es z.B. sein (rein
> spekulativ), dass es einen Isomorphismus gibt der jedem v'
> ein B(v',w) zuordnet,
Was soll denn ein "B(v',w)" sein? Diese Objekt ist eindeutig durch v' schon festegelegt.
> aber es gibt keinen Isomorphismus der
> jedem B(v',w) ein v' zuordnet??
Verwechselst du hier die konkreten Elemente [m]w\mapsto B(v',w)[/m] in [m]W^\star[/m] mit einem a priori beliebigen daraus?!
SEcki
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