Bilinearformen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Di 02.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
HI,
kann mir jemand sagen, wie ich an folgende Aufgabe herangehen soll?
Sei V ein endl. dim. K-Vektorraum mit Basis [mm] (v_{1}....v_{n}). [/mm] Sei [mm] (\Phi): [/mm] V [mm] \times [/mm] V --> K eine Bilinearform (nicht unbedingt symmetrisch) mit Gramscher Matrix (aij):= [mm] ((\Phi)(v_{i}v_{j})). [/mm] Für jedes V sind
[mm] (\Phi)(v,-): [/mm] V-->K, w --> [mm] (\Phi)(v,w) [/mm] und [mm] (\Phi)(-,v): [/mm] V-->K, w --> [mm] (\Phi)(w,v) [/mm] Linearformen. Damit erhalten wir die Abbildungen
[mm] \phi: [/mm] V-->V* (Dualraum), v--> [mm] (\Phi)(v,-) [/mm] und
[mm] \psi: [/mm] V-->V*, v --> [mm] (\Phi)(-,v).
[/mm]
Jetzt die Aufgabe
Ich soll die Darstellungsmatrizen von [mm] (\Phi)(v,-) [/mm] und [mm] (\Phi)(-,v) [/mm] berechnen bezüglich der Basis [mm] (v_{1}...v_{n}) [/mm] von V und 1 von K und die Darstellungmatrizen von [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] bezüglich der Basis [mm] (v_{1}...v_{n}) [/mm] und [mm] ($v_{1}\*...v_{n}\*$) [/mm] der dualen Basis. Außerdem soll ich noch zeigen, dass [mm] dimKern\psi=dimKern\phi [/mm] gilt.
Danke im Vorraus
LG
Britta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Di 02.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Britta!
Hast du dir schon einmal die Forenregeln des Matheraum durchgelesen? Eigene Ansätze sind schon gefordert! Es genügt nicht die Aufgabenstellung zu posten!
Aber ich will mal nicht so sein und gebe dir einen Tipp:
Ist die die Gleichheit
[mm] $\phi(v_i [/mm] ) = [mm] \Phi(v_i,-)= \sum\limits_{j=1}^n a_{ij} v_j^{\*}$
[/mm]
klar? Wie könnte man diese beweisen? (Tipp: Zwei lineare Abbildungen sind genau dann gleich, wenn sie auf einer Basis übereinstimmen...)
Was sagt das aus über die Matrixdarstellung von [mm] $\phi$ [/mm] bezüglich der beiden gegebenen Basen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 02.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Erst einmal danke und tut mir Leid, aber ich hatte echt keine Ahnung wie ich diese Aufgabe angehen sollte.
Aus deiner Gleichung sehe ich erst einmal dass die Darstellungsmatrizen identisch sind, richtig?
$ [mm] \phi(v_1 [/mm] ) = a11v1*+....+a1nvn*, d.h die Darstellungsmatrix müßte (aij) sein?
Da muß wahrscheinlich in meinen Überlegungen ein dicker Fehler sein, denn es sind ja verschiedene Basen.
Ich bin total verwirrt.
Kann mir jemand sagen, wo der Gedankenfehler ist?
Nochmals Danke
Britta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:52 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hallo Stefan
DANKE
Also, dann müßte ja (falls $ [mm] \Phi [/mm] $) symmetrisch ist, wieder die Gramsche Matrix rauskommen, ansonsten die Transponierte der Gramschen Matrix?
Ich kann ja für $ [mm] \psi [/mm] $ wieder eine Gleichung aufstellen nämlich
$ [mm] \psi $(v_{i}) [/mm] = $ [mm] \Phi [/mm] $ [mm] (-,v_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} a_{ji}v_{j}*
[/mm]
Daß die Dimension der Kerne übereinstimmen folgt ja logischerweise daraus, insbesondere falls Symmetrie vorliegt.
Vielen vielen Dank
Britta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Britta!
Wenn man genau hinschaut, sieht man, dass wir zu voreilig waren. 
Ich nehme mal an, bei euch stehen auch in der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren in den Spalten.
Jetzt sieht man, dass die Darstellungsmatrix von [mm] $\psi$ [/mm] gerade $A$ (also die Gramsche Matrix von [mm] $\Phi$) [/mm] und die Darstellungsmatrix von [mm] $\phi$ [/mm] gerade [mm] $A^T$ [/mm] ist, also genau andersherum.
Wegen $Rang(A) [mm] =Rang(A^T)$ [/mm] folgt die letzte Behauptung dann auch ohne Symmetrie.
Was bedeutet das eigentlich?
Es bedeutet, dass man die Bedingung der Nicht-Ausgeartetheit einer Bilinearform nur auf einer der beiden Komponenten definieren muss; auf der anderen folgt sie dann automatisch. Es genügt also etwa zu fordern
[mm] $\Phi(v,w)=0 \quad \mbox{für alle} [/mm] \ w [mm] \in [/mm] V [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] v=0$,
dann folgt:
[mm] $\Phi(v,w)=0 \quad \mbox{für alle} [/mm] \ v [mm] \in [/mm] V [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] w=0$
automatisch!
Liebe Grüße
Stefan
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