Bilinearformen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
ist die Abbildung von [mm] \PHI \to G_{ \{V}} [/mm] eigentlich ein Isomorphismus?
Die Abbildung von f [mm] \to [/mm] D (D die Darstellungsmatrix von f) ist ja ein Isomorphismus.
Ist der Raum der Bilinearformen eigentlich ein Vektorraum?
Danke
Britta
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Hallo Britta,
Leider ist Dir ein Syntaxfehler mit [mm] \LaTeX [/mm] unterlaufen. Mir ist nicht ganz klar, was Du meinst. Könntest Du die Frage bitte noch einmal ausführlich posten (und dabei die Vorschau benutzen)?
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Britta!
Ja, das ist richtig: Die Menge der Bilinearformen auf einem konkreten endlichdimensionalen Vektorraum bildet einen Vektorraum, und die Menge der symmetrischen Bilinearformen bildet einen Untervektorraum davon. Nicht allerdings die Menge der Skalarprodukte, das ist nur ein Kegel.
Bei Wahl einer festen Basis wird in der Tat durch die Abbildung, die jeder symmetrischen Bilinearform ihre Gramschen Matrix bezüglich der festen Basis zuordnet, ein Isomorphismus zwischen dem Vektorraum der symmetrischen Bilinearformen auf einem $n$-dimensionalen [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] und dem Vektorraum der symmetrischen quadratischen $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen gegeben.
Liebe Grüße
Julius
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