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| Aufgabe | Ein Billiard-Tisch ist durch die Geraden f: f(x)=0 und g: g(x)=8-2x begrenzt.
Im Punkt [mm] A_{0}(0/4) [/mm] befindet sich eine Kugel.
Frage:
In welchen Punkten [mm] S_{1} [/mm] und [mm] S_{2} [/mm] muss die Kugel auf f bzw. g auftreffen, damit sie letztendlich wieder in A zum Liegen kommt ? |
Hier zunächst einmal eine Skizze, damit klar ist, was gemeint ist:
Der Billiard-Tisch ist ausschließlich der gelbe Bereich. Alles andere sind nur die Spiegel-Bereiche.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meine Überlegung ist:
1.) [mm] A_{0} [/mm] und g müssen zunächst an f gespiegelt werden => [mm] A_{1} [/mm] bzw. [mm] g_{1}
[/mm]
2.) [mm] A_{1} [/mm] muss an [mm] g_{1} [/mm] gespiegelt werden => [mm] A_{2}
[/mm]
3.) Verbinde [mm] A_{0} [/mm] mit [mm] A_{2}
[/mm]
4.) Ermittle die Schnittpunkte dieser Strecke mit f und [mm] g_{1}
[/mm]
Puh, das ist zeichnerisch schon ein schönes Stück Arbeit.
Wenn man das dann auch noch rechnerisch lösen will, dann ist das eine ganz schön aufwändige (Arschleder-)Arbeit.
Am Ende habe ich dann raus, dass [mm] S_{1} [/mm] (1.33/0) und [mm] S_{2} [/mm] (2.4/3.2) ist.
Zumindest sieht dieses Ergebnis gemäß Zeichnung auch plausibel aus.
Ich habe ja noch relativ "einfache" Ausgangsmaterialien. Wenn die Geraden etwas kompliziertere Ausmaße hätten dann wäre so eine Rechnung ja "Arschleder ins Quadrat".
Oder geht es auch einfacher? Habe ich da einen Clue übersehen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Guten Abend / gute Nacht / guten Morgen Ralph,
woher nimmst du denn ständig solche Inspirationen
für neue Aufgaben ?
So wie ich sehe, ist jedenfalls deine Lösung etwa das
optimalste, was man hier machen kann. Ich könnte
dem nichts weiteres beifügen.
Damit die Billardkugel im Startpunkt schlussendlich
auch gerade wieder "zur Ruhe kommt", also liegen
bleibt, müsste man allerdings noch gewisse Bedin-
gungen betreffend Rauhigkeit (Reibung) des Belags
und den Anfangsimpuls diskutieren...
Liebe Grüße ! al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Sa 31.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> woher nimmst du denn ständig solche Inspirationen
> für neue Aufgaben ?
Oftmals komme ich einfach nur durch Zufall oder Experimentieren zu solchen Aufgaben.
Also: meistens weiß ich, dass es eine Lösung geben muss, und dann frage ich mich, wie diese denn aussieht.
> Damit die Billardkugel im Startpunkt schlussendlich
> auch gerade wieder "zur Ruhe kommt", ...
Das ist richtig. Dazu müsste man dann wohl erst einmal berechnen, welche Strecke die Kugel zurücklegt, und dann weitere Formeln aus der Physik berücksichtigen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Sa 31.05.2008 | | Autor: | weduwe |
oder das "standardverfahren":
schneide die gerade h durch die 2 spiegelpunkte [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] mit g und f.
das ergebnis ist erfreulicherweise dasselbe
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Sa 31.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Danke, dieses Verfahren ist eventuell sogar einfacher. Ich kannte dieses "Standardverfahren" nicht.
Mein Gedanke bestand darin, dass man alle Punkte auf dem Billiardtisch - und somit eben auch [mm] A_{0} [/mm] - so spiegeln müsste, dass woanders auf der Ebene so ein Spiegelbild entsteht. Der Billiardspieler muss dieses Spiegelbild "vor seinem geistigen Auge" haben, um zu wissen, in welche Richtung er seine Kugel stoßen muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Sa 31.05.2008 | | Autor: | weduwe |
> Danke, dieses Verfahren ist eventuell sogar einfacher. Ich
> kannte dieses "Standardverfahren" nicht.
>
> Mein Gedanke bestand darin, dass man alle Punkte auf dem
> Billiardtisch - und somit eben auch [mm]A_{0}[/mm] - so spiegeln
> müsste, dass woanders auf der Ebene so ein Spiegelbild
> entsteht. Der Billiardspieler muss dieses Spiegelbild "vor
> seinem geistigen Auge" haben, um zu wissen, in welche
> Richtung er seine Kugel stoßen muss.
>
zu deinen gedanken hat dir eh schon Al-Charizmi als "optimalst" gratuliert![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
die sind vollkommen in ordnung, du hast das "standardverfahren" einfach auf die gespiegelte gerade angewandt, was möglicherweise "minimalst" [igitt] aufwendiger ist.
standardverfahren: damit meinte ich einfach, die spiegelung sei zwei mal anzuwenden.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Sa 31.05.2008 | | Autor: | aram |
Hallo Leute!
Ich hab da mal so ne Frage.
Beim durchlesen der Aufgabe hab ich gleich an die Reflexion gedacht, wie bei normalen Billardtischaufgaben.
Das ganze geht hier ja aber nicht.
Es gilt ja: bei der Reflexion ändert sich nur diejenige Koordinate des Richtungsvektors, die senkrecht auf der Reflexionsebene steht. Diese Koordinate wechselt ihr Vorzeichen.
Da die Gerade g schief ist, ist nix senkrecht.
Jetzt meine Frage: gibt es viellecht doch einen Weg das Ganze über die Reflexion zu lösen, oder ist das schief sein ein "unüberwindbares" Hindernis für diesen Weg???
Es gibt ja in Mathe fast immer mehrere Lösungswege(2 wurden ja schon gezeigt).
Mfg Aram
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich habe es nicht durchgerechnet, aber so geht es vielleicht auch:
Die Gerade durch [mm] A_0 [/mm] und [mm] S_1 [/mm] ist [mm] g_1, [/mm] die durch [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] ist [mm] g_2 [/mm] und e durch [mm] S_2 [/mm] und [mm] A_0 [/mm] ist [mm] g_3.
[/mm]
Anfangen könntest du dann mit:
[mm] g_1: [/mm] y=mx+4.
Dann berechnest du den Schnittpunkt mit der x-Achse [mm] (S_x(-\bruch{4}{m}|0).
[/mm]
[mm] g_2 [/mm] ist dann die Gerade durch [mm] S_x [/mm] mit dem Anstieg -m (bzw. [mm] g_1 [/mm] an der 1. Gerade, der x-Achse, gespiegelt). Wenn man nicht die x-Achse hätte, müsste man auch schon mit dem Schnittwinkel arbeiten, aber zum Glück bleibt einem das hier erspart, obwohl es hier auch nicht sooo schwer wäre.
[mm] g_2: y=-m(x+\bruch{4}{m})=-mx-4
[/mm]
(mehr will ich jetzt nicht im Kopf machen)
Das Spiel müsstest du nochmal mit der gegebenen Geraden machen... Schnittpunkt berechnen, Winkel zwischen den Geraden berechnen und dann einen Anstieg finden, der mit der gegebenen geraden den selben Winkel einschließt.
Dann hast du [mm] g_3 [/mm] und als Parameter immer noch das m. Wenn du jetzt die Bedingung einsetzt, dass [mm] A_0 [/mm] auf [mm] g_3 [/mm] liegt, kannst du nach m auflösen.
Dann kannst du ja auch einfach das m in alle Punkte einsetzen und fertig :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Beim durchlesen der Aufgabe hab ich gleich an die
> Reflexion gedacht, wie bei normalen Billardtischaufgaben.
> ...
> Jetzt meine Frage: gibt es viellecht doch einen Weg das
> Ganze über die Reflexion zu lösen, oder ist das schief sein
> ein "unüberwindbares" Hindernis für diesen Weg???
Das Ganze hat schon mit Reflexionen zu tun. Dass die beiden Seiten des Billiardtisches nicht im Rechten Winkel zueinander stehen, ändert daran nichts.
Das Einzige, was sich ändert, ist, dass man nicht einfach so mit "simplem Vorzeichenwechsel" hantieren kann.
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