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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 So 24.06.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei V ein endlich dimensionaler komplexer Vekktorraum.
Weiters seien [mm] \beta [/mm] und [mm] \beta' [/mm] zwei symmetrische Billinearformen auf V mit [mm] rank(\beta)=rank(\beta'). [/mm] Zeige dass ein linearer Isomorphismus [mm] \phi: [/mm] V->V existiert, sodass [mm] \beta' [/mm] = [mm] \phi \* \beta, [/mm] d.h. [mm] \beta'(v,w)=\beta(\phi(v),\phi(w)), [/mm] für alle v,w [mm] \in [/mm] V.
Hinweis dazu Satz im SKriptum:
Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einen Körper [mm] \IK [/mm] mit [mm] char(\IK) \not= [/mm] 2. Weiters sei [mm] \beta [/mm] : V [mm] \times [/mm] V -> [mm] \IK [/mm] eine symmetrische Bilinearform. Dann existiert eine geordnete Basis B von V, sodass [mm] [\beta]_B [/mm] Diagonalgestalt hat. Ist [mm] \IK [/mm] ein Körper indem jedes Element mindesten eine Quadratwurzel besitzt (etwa jeder algebraisch abgeschlossene Körper), dann kann B so gewählt werden, dass
[mm] [\beta]_B [/mm] = [mm] \pmat{ I_k & 0 \\ 0 & 0 },
[/mm]
wobei k = [mm] rank(\beta) [/mm] |
Seien B' und B geordnete Basen von V
laut SKript: [mm] [\beta']_{B'} [/mm] = [mm] T^t_{BB'} [\beta']_B T_{BB'}
[/mm]
wobei [mm] T_{B'B} [/mm] die Matrix zum Baiswechsel von B' nach B bezeichnet.
[mm] \beta' [/mm] ist durch die Matrix eindeutig bestimmt (v,w [mm] \in [/mm] V):
[mm] \beta' [/mm] (v,w) = [mm] [v]^t_{B'}[\beta']_{B'} [w]_{B'}
[/mm]
= [mm] [v]^t_{B'}(T^t_{BB'} [\beta']_B T_{BB'}) [w]_{B'}
[/mm]
= [mm] (T_{BB'} [v]_{B'})^t [\beta']_B T_{BB'} [w]_{B'}
[/mm]
laut Vorrausetzung dass [mm] rank(\beta)=rank(\beta') [/mm] und dem Satz des Hinweises (wir befinden uns ja in [mm] \IC [/mm] der nach dem Fundamentalsatz der Algebra abgeschlossen ist), heißt es dass die Bilinearformen in bestimen Basen so gwählt werden können, dass die Diagonalmatrizen gleich sind.
Was mir sonst noch eingefallen ist:
Wenn die Ränge gleich sind, so sind die Matrizen zueinander kongruent
[mm] \exists [/mm] S [mm] \in GL_n (\IC) [/mm] sodass [mm] S^t [/mm] A S = B
Wäre schön, wenn mir da wer auf die Sprünge helfen könnte,
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 So 24.06.2012 | | Autor: | sissile |
Keiner eine Idee?
liebe grüße
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Hi sissile,
die symmetrische Billinearformen lassen sich auch so schreiben
[mm]\beta(v,w):=v^TAw[/mm] und [mm]\beta'(v,w):=v^TBw[/mm]
Damit [mm]\beta' = \phi \circ \beta[/mm] gilt, muss [mm]\beta'(v,w)=\beta(\phi(v),\phi(w))[/mm] für alle v,w gelten.
[mm]\phi[/mm] ist linear, damit hat man [mm]\phi(v):=\Phi*v[/mm], wobei [mm]\Phi[/mm] eine Matrix ist.
Schreibt man das dann auf, so ist doch
[mm]v^T\Phi^TA\Phi w=(\Phi v)^TA\Phi w=\phi(v^T)A\phi(w)=\beta(\phi(v),\phi(w))=\beta'(v,w)=v^TBw[/mm]
Und jetzt erschlägst du diesen Ausdruck mit deiner Wahl der Basen:
> Bilinearformen in bestimen Basen so gwählt werden können, dass die Diagonalmatrizen gleich sind.
Oder du wendest:
> sodass $S^TAS=B$
dort an.
Gruß
wieschoo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mi 27.06.2012 | | Autor: | sissile |
> $ [mm] \phi [/mm] $ ist linear, damit hat man $ [mm] \phi(v):=\Phi\cdot{}v [/mm] $, wobei $ [mm] \Phi [/mm] $ eine Matrix ist.
Warum gilt das?
[mm] \beta(\phi(v), \phi(w))=
[/mm]
> $ [mm] v^T\Phi^TA\Phi w=(\Phi v)^TA\Phi w=\phi(v^T)A\phi(w)=\beta(\phi(v),\phi(w))=\beta'(v,w)=v^TBw [/mm] $
= [mm] v^t S^t [/mm] A S w = [mm] (Sv)^t [/mm] A (Sw)
Ich weiß nun gar nicht auf was ich mit der Implikation kommen muss.
Kannst du mir das vorher erklären?
Du verwendest nämlich das was zu zeigen ist!!
LG
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> > [mm]\phi[/mm] ist linear, damit hat man [mm]\phi(v):=\Phi\cdot{}v [/mm],
> wobei [mm]\Phi[/mm] eine Matrix ist.
> Warum gilt das?
Jede lineare Abbildung f lässt sich schreiben als f(x):=Ax, wobei A eine Matrix ist.
>
>
> [mm]\beta(\phi(v), \phi(w))=[/mm]
> > [mm]v^T\Phi^TA\Phi w=(\Phi v)^TA\Phi w=\phi(v^T)A\phi(w)=\beta(\phi(v),\phi(w))=\beta'(v,w)=v^TBw[/mm]
>
> = [mm]v^t S^t[/mm] A S w = [mm](Sv)^t[/mm] A (Sw)
>
>
> Ich weiß nun gar nicht auf was ich mit der Implikation
> kommen muss.
> Kannst du mir das vorher erklären?
> Du verwendest nämlich das was zu zeigen ist!!
Ich habe dir auch keine Lösung aufgeschrieben, sondern nur einen Ansatz. Um die Existenz zu zeigen genügt es dieses [mm] $\Phi$ [/mm] anzugeben. Jetzt muss man das [mm] $\Phi$ [/mm] noch berechnen.
>
>
> LG
Liebe Grüße
wieschoo
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:23 Mi 27.06.2012 | | Autor: | sissile |
Aber einen Ansatz in dem du das verwendest was zu zeigen ist und das ist keine gute Idee:
Meine Idee wäre:
$ [mm] \beta' [/mm] $ (v,w) = $ [mm] [v]^t_{B'}[\beta']_{B'} [w]_{B'} [/mm] $
= $ [mm] [v]^t_{B'}(T^t_{BB'} [\beta']_B T_{BB'}) [w]_{B'} [/mm] $
= $ [mm] (T_{BB'} [v]_{B'})^t [\beta']_B T_{BB'} [w]_{B'} [/mm] $
= [mm] [Tv]_{B}^t [\beta']_B [Tw]_{B}
[/mm]
-> [mm] rank(\beta) [/mm] = [mm] rank(\beta')
[/mm]
-> kongurente Matrizen
[mm] \exists [/mm] S [mm] \in GL_n (\IC) [/mm] so dass [mm] S^t [\beta]_{B} [/mm] S = [mm] [\beta']_{B}
[/mm]
[mm] [Tv]_{B}^t [\beta']_B [Tw]_{B} [/mm] = [T [mm] v]_{B}^t S^t [\beta]_{B} [/mm] S [mm] [Tw]_{B} [/mm] = [S [mm] v]_{B}^t [\beta]_{B} [/mm] [S [mm] Tw]_{B}
[/mm]
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> Aber einen Ansatz in dem du das verwendest
Du musst unterscheiden zwischen dem Weg, den man gedanklich geht und die Reihenfolge, wie man es aufschreibt. Wenn man weiß, wie [mm] $\phi$ [/mm] aussieht und das noch explizit angegeben kann, so existiert dann auch dieses [mm] $\phi$.
[/mm]
> was zu zeigen
> ist und das ist keine gute Idee:
>
> Meine Idee wäre:
> [mm]\beta'[/mm] (v,w) = [mm][v]^t_{B'}[\beta']_{B'} [w]_{B'}[/mm]
> =
> [mm][v]^t_{B'}(T^t_{BB'} [\beta']_B T_{BB'}) [w]_{B'}[/mm]
>
> = [mm](T_{BB'} [v]_{B'})^t [\beta']_B T_{BB'} [w]_{B'}[/mm]
> =
> [mm][Tv]_{B}^t [\beta']_B [Tw]_{B}[/mm]
>
> -> [mm]rank(\beta)[/mm] = [mm]rank(\beta')[/mm]
> -> kongurente Matrizen
> [mm]\exists[/mm] S [mm]\in GL_n (\IC)[/mm] so dass [mm]S^t [\beta]_{B}[/mm] S =
> [mm][\beta']_{B}[/mm]
>
> [mm][Tv]_{B}^t [\beta']_B [Tw]_{B}[/mm] = [T [mm]v]_{B}^t S^t [\beta]_{B}[/mm]
> S [mm][Tw]_{B}[/mm] = [S [mm]v]_{B}^t [\beta]_{B}[/mm] [S [mm]Tw]_{B}[/mm]
Das ist doch genau das Gleiche nur mit Indizies aufgeschrieben. War anscheinend nicht gut genug erklärt von mir. Sorry.
Ich hatte geschrieben (Wenn dieses [mm] $\Phi$ [/mm] existiert, dann gilt):
[mm] v^T\Phi^TA\Phi w=(\Phi v)^TA\Phi w=\phi(v^T)A\phi(w)=\beta(\phi(v),\phi(w))\overset{!}{=}\beta'(v,w)=v^TBw [/mm].
Und A war kongruent zu B, damit gab es dieses S. Und dieses S ist eben das [mm] $\Phi$. [/mm] Wie man die Sachen bezeichnet ist einem doch selbst überlassen. Manche mögens mit Indizies und andere verwenden einfach einen neuen Buchstaben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 29.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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