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| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_{1}, a_{2},.., a_{n} \in \IR [/mm] definieren wir [mm] I(a_{1},a_{2},...,a{n}) [/mm] = [mm] [\summe_{i=1}^{n} \bruch{a_{i}}{2^{i}} [/mm] , [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{a_{i}}{2^{i}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] ]
a) Zeigen Sie, dass es genau eine Abbildung g: [mm] \{0,1\}^{\IN} \mapsto [/mm] [0,1] gibt, sodass [mm] g((a_{n})_{n \in \IN}) \in \bigcap_{n \in \IN} I(a_{1},...,a_{n})
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass g surjektiv ist (und somit eine binäre Darstellung im Einheitsintervall definiert).
c) Ist g injektiv (d.h. ist die binäre Darstellung eindeutig) ? |
Hallo Leute..
Danke mal im Voraus für eure Hilfe.
Ich bin jetz schon seit ein paar Stunden am rumprobieren, klappt aber nichts.
Mein einziger lösungsversprechender Ansatz ist, einen Widerspruchsbeweis bei a) zu führen aber ich weiss einfach nicht, wie ich zeigen soll, dass [mm] g(a_{n}) \in \bigcap_{n \in \IN} I(a_{1},...,a_{n})
[/mm]
Sorry anderer Ansatz fällt mir nicht ein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Für n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]a_{1}, a_{2},.., a_{n} \in \IR[/mm] definieren
> wir [mm]I(a_{1},a_{2},...,a{n})[/mm] = [mm][\summe_{i=1}^{n} \bruch{a_{i}}{2^{i}}[/mm]
> , [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{a_{i}}{2^{i}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
> ]
>
> a) Zeigen Sie, dass es genau eine Abbildung g:
> [mm]\{0,1\}^{\IN} \mapsto[/mm] [0,1] gibt, sodass [mm]g((a_{n})_{n \in \IN}) \in \bigcap_{n \in \IN} I(a_{1},...,a_{n})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Bei solchen Aussagen musst du immer zwei Dinge machen:
1) Eindeutigkeit, d.h. in dem Fall: Sind $g,g'$ zwei Abbildungen mit den geforderten Eigenschaften, dann ist $g=g'$.
2) Existenz, d.h. du musst hier eine Abbildung $g$ konstruieren, die die gewünschten Eigenschaften hat.
Oftmals lohnt es sich, mit der Eindeutigkeit zu beginnen, da man da Ideen für die Existenz bekommt. Hier ist es auch so:
Du musst dir klar machen, dass die Folge von Intervallen $(I(a_1,...,a_n))_{n\in\IN}$ für eine Zahlenfolge, die nur aus 1er und 0er besteht (genau das bedeutet ja $a_n\in\{0,1\}^\IN$), eine Intervallschachtelung ist - beweise das. Damit gibt es nach dem Intervallschachtelungsprinzip eine eindeutig bestimmte reelle Zahl $\xi$, die in all diesen Intervallen, also in $\bigcap_{n\in\IN}I(a_1,...,a_n)$ liegt, d.h. $g((a_n)_{n\in\IN})$ muss zwangsläufig gleich dieser Zahl $\xi$ sein - damit solltest du nun auch die Existenz, also Teil 2), schaffen.
Mache dir klar dass $g((a_n)_{n\in\IN)$ genau diejenige reelle Zahl ist, die im Binärsystem die Gestalt $0,a_1a_2a_3a_4...$ hat!
> b) Zeigen Sie, dass g surjektiv ist (und somit eine binäre
> Darstellung im Einheitsintervall definiert).
Hier musst du im Grunde nur zeigen, dass jedes $\xi\in[0,1]$ eine solche Darstellung besitzt.
> c) Ist g injektiv (d.h. ist die binäre Darstellung
> eindeutig) ?
Tja, hier musst du mal drüber nachdenken, aber immer eins nach dem anderen 
Gruß, Robert
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Ja aber oben ist ja [mm] a_{1}...a_{n} \in \IR [/mm] und keine Folge von 1er und 0. Wie würde dann die Summe [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{a_{i}}{2^{i}} [/mm] aussehen, wenn [mm] a_{i} [/mm] in binärform ist?
Ist mit [mm] \bigcap_{n \in \IN} I(a_{i}..a_{n}) [/mm] gemeint: [mm] I(a_{1}) \cap I(a_{1}, a_{2}) \cap [/mm] ...?!
Wie kann ich zeigen, dass es sich um eine Intervallschachtelung handelt? Da [mm] a_{i} \in \IR [/mm] ist und somit z.B für [mm] a_{1} [/mm] = 2 und [mm] a_{2} [/mm] = -30, [mm] I(a_{1},a_{2}) [/mm] nicht in [mm] I(a_{1}) [/mm] enthalten ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ja aber oben ist ja [mm]a_{1}...a_{n} \in \IR[/mm] und keine Folge
> von 1er und 0.
Gute Frage, das hatte mich auch erst verwirrt. Der Punkt ist, dass in der Aufgabe der Ausdruck [mm] $I(a_1,a_2,...,a_n)$ [/mm] zwar für beliebige reelle Zahlen [mm] $a_i\in\IR$ [/mm] erklärt wird, aber danach wird er nur noch mit solchen 1/0-Folgen Benutzt:
g: [mm] \{0,1\}^{\IN} \mapsto [/mm] [0,1]
Bedeutet ja: "In die Abbildung $g$ steckst du eine Folge, die nur aus 1en und 0en besteht, rein, und bekommst eine reelle aus $[0,1]$ heraus.
> Wie würde dann die Summe [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{a_{i}}{2^{i}}[/mm]
> aussehen, wenn [mm]a_{i}[/mm] in binärform ist?
Ich verstehe die Frage nicht ganz. [mm] [B]_{16}=[12]_{10}=[14]_8=[1100]_2 [/mm] sind alles ein und dieselbe reelle Zahl, nur mit verschiedenen Darstellungen. Die Summe kratzt es nicht, welche Darstellung wir zufällig gewählt haben.
> Ist mit [mm]\bigcap_{n \in \IN} I(a_{i}..a_{n})[/mm] gemeint:
> [mm]I(a_{1}) \cap I(a_{1}, a_{2}) \cap[/mm] ...?!
Genau. Streng mathematisch ist das einfach diejenige Menge, die genau die Elemente enthält, die in allen [mm] $I(a_1,...,a_n)$ [/mm] liegen, wenn $n$ sozusagen alle natürlichen Zahlen durchläuft, mit anderen Worten:
Hat man für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] eine Menge [mm] $A_n\subset [/mm] X$ gegeben, dann ist [mm] $\bigcap_{n\in\IN}A_n=_{\text{Def}}\{x\in X:\text{für alle }n\in\IN\text{ ist }x\in A_n\}$.
[/mm]
> Wie kann ich zeigen, dass es sich um eine
> Intervallschachtelung handelt? Da [mm]a_{i} \in \IR[/mm] ist und
> somit z.B für [mm]a_{1}[/mm] = 2 und [mm]a_{2}[/mm] = -30, [mm]I(a_{1},a_{2})[/mm]
> nicht in [mm]I(a_{1})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
enthalten ist.
Das ist schon richtig, aber wie gesagt, du musst dich nur um diejenigen $(a_n)_{n\in\IN$ kümmern, die nur aus 1er und 0er bestehen. DANN bilden die Intervalle eine Intervallschachtelung, d.h.:
1) Die Folge der linken Intervallgrenzen ist monoton wachsend, die der rechten Intervallgrenzen monoton fallend.
2) Die Folge der Intervalllängen ist eine Nullfolge.
Gruß, Robert
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