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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Binomialgleichung
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Binomialgleichung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 Mo 27.04.2009
Autor: Uebungistalles

Aufgabe
Seien m,n [mm] \in \IN [/mm]  , wobei m [mm] \le [/mm] n. Zeigen sie , dass

[mm] \summe_{k=0}^{m} (-1)^{k} \vektor{n \\ k} =(-1)^{m}\vektor{n-1 \\ m} [/mm]

Das wäre also unsere Behauptung die zu zeigen wäre , und ich probiere das mit Induktion!

IA (m=0)  [mm] \summe_{k=0}^{0} (-1)^{0} \vektor{n \\ 0} =(-1)^{0}\vektor{n-1 \\ 0} [/mm]  =1

IV ist also ersichtlich - nun geht es darum:

[mm] \summe_{k=0}^{m+1} (-1)^{k} \vektor{n \\ k} =\summe_{k=0}^{m} (-1)^{k} \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] (-1)^{m+1} \vektor{n \\ m+1}=(-1)^{m}\vektor{n-1 \\ m} [/mm] + [mm] (-1)^{m+1} \vektor{n \\ m+1} [/mm]

Habe das in die gängige Form gebracht mit [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = n!/k!(n-k)! aber das führt zu langen Gleichungen und zusammen fassen lässt sich das auch nicht gut - was hilft da?

EDIt: Wäre eine Indexverschiebung hilfreich und wenn ja wie?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Binomialgleichung: auf einen Bruch schreiben
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Mo 27.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Übungistalles!


> Das wäre also unsere Behauptung die zu zeigen wäre , und
> ich probiere das mit Induktion!

[ok]

  

> [mm]\summe_{k=0}^{m+1} (-1)^{k} \vektor{n \\ k} =\summe_{k=0}^{m} (-1)^{k} \vektor{n \\ k}[/mm]  + [mm](-1)^{m+1} \vektor{n \\ m+1}=(-1)^{m}\vektor{n-1 \\ m}[/mm] +  [mm](-1)^{m+1} \vektor{n \\ m+1}[/mm]

[ok]
  

> Habe das in die gängige Form gebracht mit [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] =
> n!/k!(n-k)! aber das führt zu langen Gleichungen und
> zusammen fassen lässt sich das auch nicht gut - was hilft da?

Ich würde genau diesen Weg gehen. Klammere zunächst [mm] $(-1)^{m+1}$ [/mm] aus und fasse dann die beiden Binomialkoeffizienten auf einem Bruch zusammen.

  

> EDIt: Wäre eine Indexverschiebung hilfreich und wenn ja wie?

Nein, da durch Anwendung der Induktionsvoraussetzung die Summe an sich verschwindet.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Binomialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:11 Mo 27.04.2009
Autor: Uebungistalles

Danke für die Hilfe! Manchmal könnte ich mir echt gegen den Kopf schlagen - ein Vorzeichen vergessen und es konnte nicht aufgehen , denn auf einem Bruch hatte ich es schon , doch im Zähler führte es zu nichts!

Bezug
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