Binomialkoeffizient < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Term [mm] \vektor{5 \\ 3}*(\bruch{4}{5})^{3}*(\bruch{1}{5})^{2} [/mm] den Wert [mm] \bruch{128}{625} [/mm] hat. |
Hallo,
diese Aufgabe soll ohne den Taschenrechner berechnet werden. Ich habe dazu die Lösung bekommen, jedoch kann ich diese nicht nachvollziehen.
= [mm] \bruch{5!}{3!*2!}*\bruch{4^{3}}{5^{5}}= \bruch{5*4}{2*1}*\bruch{4^{3}}{5^{5}}= \bruch{2*4^{3}}{5^{4}}= \bruch{128}{625}
[/mm]
Dass bei [mm] \vektor{5 \\ 3} [/mm] nur die Formel angewendet wurde, ist mir klar, der Rest aber nicht.
Auf eine Erklärung hinsichtlich der Lösung würde ich mich sehr freuen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Sa 20.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> = [mm]\bruch{5!}{3!*2!}*\bruch{4^{3}}{5^{5}}= \bruch{5*4}{2*1}*\bruch{4^{3}}{5^{5}}= \bruch{2*4^{3}}{5^{4}}= \bruch{128}{625}[/mm]
Zu zeigen:
[mm] \vektor{5 \\ 3}*(\bruch{4}{5})^{3}*(\bruch{1}{5})^{2}=\bruch{128}{625}.
[/mm]
Den Binomialkoeffizient hast du bereits richtig erkannt. Außerdem
werden wir zunächst folgende zwei Eigenschaften benutzen:
[mm] a^b*a^c=a^{b+c},
[/mm]
[mm] \left(\frac{a}{b}\right)^c=\frac{a^c}{b^c} [/mm] mit [mm] b\not=0.
[/mm]
Es gilt:
[mm] \vektor{5 \\ 3}*(\bruch{4}{5})^{3}*(\bruch{1}{5})^{2}=\frac{5!}{3!*2!}*\frac{4^3}{5^3}*\frac{1^2}{5^2}=\frac{5!}{3!*2!}*\frac{4^3}{5^5}.
[/mm]
Mit
[mm] n!=1*2*\ldots*(n-1)*n [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
erhalten wir
[mm] \frac{5!}{3!*2!}*\frac{4^3}{5^5}=\frac{1*2*3*4*5}{1*2*3*1*2}*\frac{4^3}{5^5}=\frac{4*4^3}{2*5^4}=\frac{2*4^3}{5^4}.
[/mm]
Das sollte man entweder auswendig wissen oder im Kopf
[mm] \frac{2*4^3}{5^4}=\frac{2*4*4*4}{5*5*5*5}=\frac{128}{625}
[/mm]
berechnen.
Gruß
DieAcht
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