Binomialkoeffizient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Bebe |
| Aufgabe | Für reelle Zahlen a, b [mm] \not= [/mm] 0 und n [mm] \in \IN [/mm] gilt die Identität:
(a-b) [mm] \summe_{k=0}^{n} a^k*b^{n-k} [/mm] = a^(n+1) - b^(n+1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, also mein Versuch war es die Summe über Binomialkoeffizient erst mal in [mm] (a+b)^n [/mm] umzuwandeln. Nun habe ich stehen: [mm] (a-b)(a+b)^n, [/mm] dass ist ja aber nicht a^(n+1)-b^(n+1).
Was habe ich denn da falsch gemacht.
Danke für eure Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für reelle Zahlen a, b [mm]\not=[/mm] 0 und n [mm]\in \IN[/mm] gilt die
> Identität:
> (a-b) [mm]\summe_{k=0}^{n} a^k*b^{n-k}[/mm] = a^(n+1) - b^(n+1)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo, also mein Versuch war es die Summe über
> Binomialkoeffizient erst mal in [mm](a+b)^n[/mm] umzuwandeln. Nun
> habe ich stehen: [mm](a-b)(a+b)^n,[/mm]
Du hast also einfach Binomialkoeffizienten eingefuegt?! Dann ist es kein Wunder, dass was anderes herauskommt.
Multiplizier die linke Seite doch einfach mal aus und mache eine passende Indexverschiebung. Dann hebt sich fast alles weg bis auf [mm] $a^{n+1}$ [/mm] und [mm] $-b^{n+1}$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Bebe |
Also, ich habe das jetzt noch mal versucht, komme aber trotzdem nicht auf die Lösung! Könntest du mir bitte mal deinen Weg zeigen, den Ansatz mit der linken Seite ist klar, aber wie gehe ich mit der Summenformel weiter um und wie meintest du das mit der Indexverschiebung?
|
|
|
| |
|
Diese Aufgabe ist in Wirklichkeit banal. Daß du das nicht siehst, liegt daran, daß du dir unter der Sache nichts vorstellen kannst und deswegen formal rechnen willst. Am besten diese Methode gleich abgewöhnen, sie führt in der Mathematik mittelfristig in den Abgrund! Leider beherzigen die meisten Menschen diesen Ratschlag nicht. Irgendwie denken sie, Mathematik sei Umgang mit Formeln - und gerade deshalb verstehen sie sie nie richtig. Das Gegenteil ist aber richtig: Mathematik ist Inhalt, Formeln sind nur Werkzeuge, um diesen Inhalt zu beschreiben. Ein souveräner Umgang mit den Werkzeugen des Kalküls ist unerläßlich, um Mathematik betreiben zu können. Aber vorher kommt das Verständnis für das, was man da treibt ...
Nach dieser Moralpredigt jetzt zur Sache. Um dir besser vorstellen zu können, was da eigentlich steht, setze für [mm]n[/mm] einfache Zahlen ein:
[mm]n=1: \ \ \ (a - b) \cdot (b + a) = a^2 - b^2[/mm]
Und? Kommt dir das bekannt vor? Wie beweist man so etwas?
[mm]n=2: \ \ \ (a - b) \cdot \left( b^2 + ab + a^2 \right) = a^3 - b^3[/mm]
Und wie wird man das hier wohl beweisen?
[mm]n=3: \ \ \ (a - b) \cdot \left( b^3 + ab^2 + a^2 b + a^3 \right) = a^4 - b^4[/mm]
Und wenn du das Prinzip des ganzen Vorgangs verstanden hast, dann traue dich an den allgemeinen Fall:
[mm](a - b) \cdot \left( b^n + ab^{n-1} + a^2 b^{n-2} + \ldots + a^{n-2} b^2 + a^{n-1} b + a^n \right) = a^{n+1} - b^{n+1}[/mm]
Und zum Schluß versuche, mit dem Summenzeichen zu arbeiten und die Rechnung ohne Pünktchen aufzuschreiben. Wenn dir das gelingt, hast du erstens verstanden, was du da tust, und zweitens Erfahrung im Umgang mit dem Summenzeichen gewonnen, die dir spätere Beweise dieser Art sehr erleichtern wird. Und die "Indexverschiebung" ist auf einmal kein Zaubertrick mehr, sondern findet eine ganz natürliche Erklärung ...
Dann los!
|
|
|
|
