Binomialkoeffizient < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Mo 25.10.2010 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Beweisen Sie für n,m [mm] \in \IN [/mm] mit m <= n die Identität
[mm] \vektor{n \\ m-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ m} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ m}
[/mm]
ohne Verwendung der Gleichung [mm] \vektor{n \\ k} =\bruch{n!}{(n-k)!*k!} [/mm] |
Hallo,
mein Problem ist, dass ich mir nicht vorstellen kann, wie eine (m-1) elementige Teilmenge einer n-elementigen Menge aussehen soll.
Mein Verständnis: Wenn ich eine Teilmenge(eine m-elementige Teilmenge) rausnehme, dann wird ja auch implizit auch aus der n-elementigen Menge was entfernt, aber dann ist das doch der Ausdruck : [mm] \vektor{n-1 \\ m-1} [/mm] und nicht der obige Ausdruck [mm] \vektor{n \\ m-1}.
[/mm]
Kann mir jemand erklären wo mein Denkfehler ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Mo 25.10.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]\vektor{n \\ m-1}[/mm] = [mm]\vektor{n+1 \\ m} - \vektor{n \\ m} [/mm]
wie viel mehr Möglichkeiten gibt es eine m-elementige Teilmenge aus einer (n+1)-elementigen als aus einer n-elementigen Menge herauszunehmen?
Wir finden einfach alle Möglichkeiten eine (m-1)-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge herauszunehmen und hängen gedanklich an jede gefundene Teilmenge das (n+1)'te Element an, dann haben wir m-elementige Teilmengen.
Nur zum Verständnis, bewiesen werden muss es natürlich noch.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mo 25.10.2010 | | Autor: | folken |
Danke für deine Antwort.
Ich komme irgendwie nicht auf die Lösung, wobei ich das Thema mit dem Binomialkoeffizienten und den Teilmengen der Mengen wohl verstanden habe.
Kann mir jemand einen Ansatz geben?
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Hallo folken,
> Danke für deine Antwort.
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> Ich komme irgendwie nicht auf die Lösung, wobei ich das
> Thema mit dem Binomialkoeffizienten und den Teilmengen der
> Mengen wohl verstanden habe.
> Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Nach dem binomischen Satz gilt:
[mm]\left(1+t\right)^{n}=\summe_{m=0}^{n}\pmat{n \\ m}t^{m}[/mm]
Entsprechend gilt:
[mm]\left(1+t\right)^{n+1}=\summe_{m=0}^{n+1}\pmat{n+1 \\ m}t^{m}[/mm]
Um obiges zu zeigen, multipliziere zunächst den Ausdruck
[mm]\summe_{m=0}^{n}\pmat{n \\ m}t^{m}[/mm]
mit 1+t
Berechne also
[mm]\left(1+t\right)*\summe_{m=0}^{n}\pmat{n \\ m}t^{m}[/mm]
und vergleiche dies mit
[mm]\summe_{m=0}^{n+1}\pmat{n+1 \\ m}t^{m}[/mm]
Gruss
MathePower
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