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Forum "Diskrete Mathematik" - Binomialkoeffizient
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Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Sa 17.11.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Ich frage mich wie man auf:

    [mm] \vektor{-n \\ k} [/mm] = [mm] (-1)^k \vektor{n+k-1 \\ k} [/mm]

kommt.


Der Prof. hat das leider nur hingeschrieben und nicht erklärt. ich wüsste gerne wie man auf das komm!!

für natürliche Zahlen [mm] \vektor{n \\ k}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}=\frac{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{k!} [/mm]
Liebe Grüße

        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Sa 17.11.2012
Autor: M.Rex

Hallo


> Ich frage mich wie man auf:
>  
> [mm]\vektor{-n \\ k}[/mm] = [mm](-1)^k \vektor{n+k-1 \\ k}[/mm]
>
> kommt.
>  
> Der Prof. hat das leider nur hingeschrieben und nicht
> erklärt. ich wüsste gerne wie man auf das komm!!
>  
> für natürliche Zahlen [mm]\vektor{n \\ k}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}=\frac{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{k!}[/mm]
>  
> Liebe Grüße

Die Binomialkoeffizienten sind wie folgt definiert:
[mm] $\vektor{n \\ k}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}$ [/mm]

Das erste Gleichheitszeichen ist also nur die Definition.

Das zweite Gleichheitszeichen ist dann nur noch eine Umformung mit den Fakultätetn, diese ist aber nicht sehr üblich.
[mm] $\frac{n!}{k!*(n-k)!}=\frac{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{k!}$ [/mm]


Bei deiner Aufgabe also:

[mm] $(-1)^{k}\cdot{n+k-1\choose k}$ [/mm]
Definition anwenden
[mm] $(-1)^{k}\cdot\frac{(n-k+1)!}{k!\cdot(n-k+1-k)!}$ [/mm]


Die erste Seite kommt mir seltsam vor:

Normalerweise ist [mm] ${n\choose k}$ [/mm] per Definition Null, wenn k<0, n<0 oder k<n.

Marius



Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:38 Sa 17.11.2012
Autor: sissile

Du hast das falsch verstanden:
> für natürliche Zahlen $ [mm] \vektor{n \\ k}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}=\frac{n\cdot{}(n-1)\cdot{}...\cdot{}(n-k+1)}{k!} [/mm] $

war mein Ansatz um auf das vom professor zu kommen, natürlich verstehe ich meinen eigenen Ansatz ;)
Das im Aufgabentext ist die Gleichung die ich nicht verstehe!

Bezug
        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Sa 17.11.2012
Autor: reverend

Hallo sissile,


> Ich frage mich wie man auf:
>  
> [mm]\vektor{-n \\ k}[/mm] = [mm](-1)^k \vektor{n+k-1 \\ k}[/mm]
>
> kommt.
>  
> Der Prof. hat das leider nur hingeschrieben und nicht
> erklärt. ich wüsste gerne wie man auf das komm!!

Man wendet die allgemeine []Definition der Binomialkoeffizienten an.

Nehmen wir mal [mm] \vektor{-7\\3}=\bruch{(-7)*(-8)*(-9)}{1*2*3}=-84=(-1)^3\vektor{7+3-1\\k}=-\vektor{9\\3} [/mm]

Die Formel Deines Profs ist ganz leicht herzuleiten, wenn man der Definition folgt. Die Beträge der Faktoren im Zähler gehen von n bis n+k-1 (genau k Faktoren, angefangen mit (-n)), die im Nenner von 1 bis k. Wenn man nur die Beträge der Faktoren betrachtet, steht da also das gleiche wie bei [mm] \vektor{n+k-1\\k}. [/mm]
Im Zähler stehen aber k negative Faktoren, daher muss also noch der Faktor [mm] (-1)^k [/mm] dazu.

Grüße
reverend



Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:04 Sa 17.11.2012
Autor: sissile

danke, ich denke ich verstehe es
Obwohl mich etwas irritiert dass du schrebst:

> Die Beträge der Faktoren im Zähler gehen von n bis n+k-1

und
$ [mm] \vektor{n \\ k}=\frac{n\cdot{}(n-1)\cdot{}...\cdot{}(n-k+1)}{k!} [/mm] $

also $ [mm] \vektor{-n \\ k}=\frac{-n\cdot{}...\cdot{}(-n-k+1)}{k!} [/mm] $
Aber mir ist es schon um einiges klarer geworden

Bezug
                        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Sa 17.11.2012
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> danke, ich denke ich verstehe es
> Obwohl mich etwas irritiert dass du schrebst:
> > Die Beträge der Faktoren im Zähler gehen von n bis n+k-1
>
> und
>  [mm]\vektor{n \\ k}=\frac{n\cdot{}(n-1)\cdot{}...\cdot{}(n-k+1)}{k!}[/mm]

Was hat diese Formel in diesem Zusammenhang verloren?
Besser wäre [mm] \vektor{n+k-1\\k}=\bruch{(n+k-1)*(n+k-2)*\cdots*(n+1)*n}{k!} [/mm]

> also [mm]\vektor{-n \\ k}=\frac{-n\cdot{}...\cdot{}(-n-k+1)}{k!}[/mm]

Mal nur zwei Faktoren mehr ausgeschrieben:
[mm] =\bruch{(-n)*(-n-1)*\cdots*(-n-k+2)*(-n-k+1)}{k!}=\bruch{(-(n))*(-(n+1))*\cdots*(-(n+k-2))*(-(n+k-1))}{k!} [/mm]

Das gleiche wie vorher, nur in umgekehrter Reihenfolge und mit k zusätzlichen "Minuszeichen", also [mm] (-1)^k. [/mm]

> Aber mir ist es schon um einiges klarer geworden

Grüße
reverend


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